احتمال و ژنتیک

احتمال و ژنتیک

آنچه به اینجا پیوند دارد...      خانه ریاضیات      نظریه احتمال

علوم ریاضی

(cached)

---

احتمال و آمار و همچنین سایر علوم رسالت دارند تا بتوانند حوادث پیرامون ما را توضیح دهند. دلیل آنها را روشن سازند و رفتار آنها را تعیین کنند. برای تبیین برخی از پدیده ها لازم است مباحث مختلفی از علوم دست به دست یکدیگر بدهند. در ژنتیک با استفاده از مباحث زیست شناسی، احتمال و ریاضیات، پدیده ها را می توان توصیف و پیش بینی های لازم را به عمل آورد. 

وراثت و ژنتیک

انسانها دارای صفتهای اکتسابی و ارثی هستند. صفتهای ارثی؛ صفاتی هستند که از آغاز تولد همراه انسان بوده و تا آخر عمر ثابت می مانند. این صفتها از والدین به او می رسند و او نیز آنها را به نسل و حتی نسلهای بعدی انتقال می دهد. این انتقال به وسیله ژنها انجام می پذیرد. برای هر صفتی ژن خاصی وجود دارد که نوزاد از والدین خود به ارث می برد. برای آن که موضوع روشن شود؛ موضوع RH خون را در نظر می گیریم. عامل تعیین کننده RH خون ژنی است که سبب می شود RH خون مثبت و یا منفی شود و هر ژن از دو قسمت تشکیل یافته است که یک قسمت آن از پدر و یک قسمت دیگر آن از مادر به نوزاد می رسد. اکنون اگر این دو بخش، هر دو از نوع RH منفی باشند، گروه خونی نوزاد منفی خواهد بود و در غیر این صورت RH خون نوزاد مثبت خواهد شد. در این گونه موارد، می گویند ژن RH مثبت غالب است (بر ژن RH منفی چیره می شود). معمولاً ژن های را با حروف انگلیسی نشان می دهند. اگر ژنی غالب باشد، آن راحرف بزرگ و اگر مغلوب باشد، با حرف کوچک نشان می دهند. مثلاً اگر ژن تعیین کننده RH خون را با R نشان دهیم، آن گاه: R عامل تعیین کننده RH مثبت و تعیین کننده منفی RH است. پس اگر ژن مربوط به تعیین RH خون فرزندی به یکی از صورتهای Rr، RR و r R باشد، RH خونی او مثبت خواهد شد. فقط در حالت است که RH او منفی می شود. حالت زیر را برای والدین در نظر بگیرید. 
الف: مادر به صورت RR و پدر نیز به صورت RR باشند. در این صورت فرزند آنها نیز مسلماً دارای ژن RR خواهد بود و در نتیجه RH او مثبت است. 
ب: مادر به صورت rr و پدر نیز به صورت rr باشند. در این صورت فرزند آنها دارای ژن rr است و RH خون او منفی است. 
ج: مادر به صورت Rr و پدر به صورت RR باشد، در این صورت فرزند به یکی از دو صورت RR و یا Rr است که در هر حال RH او مثبت است. 
د: مادر به صورتRr و پدر به صورت Rr باشد، در این صورت فرزند به صورت RR، یا Rr و یا rr خواهد بود؛ که در حالت اول RH مثبت و فقط در حالت آخر RH منفی است. اکنون احتمال آن که فرزند چنین والدینی دارای مثبت باشد، چه قدر است؟ برای پاسخگویی به این سوال شکل زیر را در نظر می گیریم: 

چون هر یک از این ترکیبها به تصادف انجام می شود، احتمال آن که این قبیل پدران و مادران فرزندی با مثبت باشند، برابر و احتمال ان که فرزند منفی باشند است. 
هـ: اگر مادر به صورت Rr و پدر به صورت rr باشد، در این صورت شکل زیر را داریم: 


در این حالت احتمال آن که فرزندی دارای مثبت باشد، برابر و احتمال آن که دارای منفی باشد نیز برابر است. 

به همین ترتیب می توان سایر حالات نیز نمودار نظیر را رسم و احتمالها را حساب کرد. 
اگر تنوع صفت بیش از 2 باشد (مثبت و منفی)، انتقال صفات به این سادگی انجام نمی پذیرید و در آن جا باید با مطالعات گسترده درباره غالب و مغلوب بودن ژنها، قانون انتقال را تعیین کرد، مثلاً درباره رنگ چشم این مشکل وجود دارد. ولی در مطالعات نظری گذشته از برخی از حالات، معمولاً رنگ چشم تیره را غالب و رنگ چشن روشن را مغلوب فرض می کنند. 
مثال: پدری دارای رنگ چشم و مادر دارای ژن رنگ چشم است 

همچنین ببینید:

نظریه احتمال 

گاوس

گائوس 

 

شارل فردریک گائوس فرزند باغبان فقیری از اهالی برونشویک آلمان بود که در تاریخ 30 آوریل سال 1777 متولد شد پدرش مردی شرافتمند و مادرش زنی فعال و باهوش بود گائوس بیش از سه سال نداشت که پدرش را از اشتباهی که در حساب ورقه ای بود مطلع ساخت و بدین ترتیب توانست استعداد فوق العاده خود را در محاسبه نشان دهد هنگامیکه گائوس در مدرسه ابتدایی مشغول تحصیل بود و بیش از ده سال بیشتر نداشت یک روز معلم او سر کلاس شاگردان را وادار نمود که مجموع سلسله ای از اعداد را با هم جمع کنند ولی هنوز صورت مسئله تمام نشده بود که گائوس ده ساله گفت من مسئله را حل کردم او متوجه شده بود که اختلافات مابین دو عدد از این سلسله مقداریست ثابت و خود به خود دستوری برای مجموع این نوع سلسله اعداد بوجود آورد معلم او سخت متعجب شد و اظهار داشت که این کودک از من قویتر است و من دیگر معلوماتی ندارم که به او بیاموزم گائوس در سال 1795 وارد دانشگاه گوتینگن شد و در 19 سالگی به حل بسیاری از مسائل که برای اویلر و لاگرانژ لانحل مانده بود موفق گردید گائوس نیز همچون ارشمیدس و دکارت و اسحاق نیوتن در کودکی دچار حادثه ای گردید که ممکن بود ریاضیات را از وجود او محروم سازد وی در اولین سالهای کودکی بود و طغیان آب ترعه ای را که از کنار خانه محقر ایشان می گذشت سر ریز کرده بود کودک در کنار آب بازی می کرد در ترعه افتاد و چیزی نمانده بود که غرق شود و اگر بر حسب تصادف کارگری که در آن نزدیکی بود وی را نجات نمی داد زندگانی گائوس به همین جا خاتمه می یافت روز 30 مارس 1796 یکی از روزهای تاریخی دوران زندگی گائوس است در این روز یعنی درست یکماه قبل از اینکه 19 ساله شود گائوس به طور قطع تصمیم به مطالعه در ریاضیات گرفت از همین روز بود که وی دفتر یادداشت علمی خویش را ترتیب داد که یکی از ذیقیمت ترین مدارک تاریخ ریاضیات می باشد و اولین مسئله ای که در آن ثبت شده است همین اکتشاف بزرگ او می باشد. 
این دفتر یادداشت فقط از سال 1898 در معرض مطالعه عموم قرار گرفت یعنی 43 سال بعد از وفات گائوس. 

گائوس در 9 اکتبر 1805 در 28 سلگی با یوهانااشتهوف از اهالی شهر برونشویک ازدواج می کند و در نامه ای که سه روز بعد از نامزدی خود به دوست دانشگاهی خویش ولنگانگ بولیه نوشته است از خوشبختی خویش چنین گفتگو می کند: زندگانی هنوز به صورت بهاری ابدی با رنگهای جدید و درخشان در مقابل من ایت از این ازدواج سه فرزند نصیب او شد که یوزف و مینا و لودویش نام داشتند زنش در 11 اکتبر 1809 بد از تولد لودویش وفات یافت. اگر چه سال بعد(4اوت 1810) بخاطر کودکانش از نو ازدواج کرد ولی سالها بعد نیز از زن اول هود با تاثر بسیار گفتگو می کرد زن دوم او که میناوالدک نام داشت دو پسر و یک دختر برایش آورد. 

فقر و تنگدستی گائوس از یک طرف و فوت زنش از رطف دیگر بدبینی عجیبی در او به وجود آورد بطوری که تا آخر عمر این بدبینی از او جدا نگردید ولی با وجود همه این گرفتاریها ودر حالیکه نوشته بود مرگ بر این زندگی ترجیح دارد تئوری اجسام آسمانی روی مقاطع مخروطی حل خورشید را انتشار داد و در سال 1811 مسیر ستاره دنباله دار عظیمی را محاسبه نمود و در همین سال تئوری متغیر موهومی را بیان کرد ولی از دیگران مخفی نگهداشت به طوری که کوشی ریاضی دان معروف دوباره مجبور به کشف آن شد و بدینترتیب 50 سال علم ریاضی عقب بود. در سال 1833 تلگراف الکتریکی را ساخت و دو کتاب یکی در سال 1827 بنام تجسسات عممی در باره سطوح منحنی و یکی در سالهای 1843 و 1846 تحت عنوان تجسماتی در باره مسائل مربوط به مساحی عالی منتشر ساخت ودر این هنگامبود که تمام مردم معتقد بودند که گائوس بزرگترین ریاضیدان جهان است ولی گائوس به این افتخارات اهمیت نمی داد و هیچکس را نزد خود نمی پذیرفت و از خانه خارج نمی شد و تنها در مدت 27 سال فقط یکبار برای شرکت در کنگره علمی به برلین مسافرت کرد گائوس فقط با زنی بنام سوفی ژرمن اهل فرانسه ارتباط داشت این زن در سال 1816 از طرف آکادمی علوم پاریس به اخذ جایزه بزرگ ریاضیات نائل شد گائوس به آثار والتر اسکات و ژان پول علاقه فراوئان داشت و در 70 سالگی به فکر اموختن زبان روسی افتاد گائوس اکتشاف خود را طی سالهای 1796 تا 1714 در 19 صفحه که شامل 146 اکتشاف مهم بود در سال 1898 منتشر ساخت این جزوه چند صفحه ای گنجینه بزرگی بود که دانشمندان را به کلی حیران نمود. 

گائوس اکتشاف خود را همیشه بصورت معما یادداشت می نمود ومعتقد بود که فقط برای خود مطالعه می کند. وی هنگامیکه در دانشگاه تحصیل می کرد کتاب خود را بام تجسسات حسابی تمام کرد و تئوری اعداد را که تا آن زمان شکل واقعی به خود نگرفته بود بصورت دانش حقیقی در آورد لاگرانژ ریاضیدانمعروف در موردکتاب گائوس چنین اظهار داشته است. 
کتابی را به عنوان تجسسات حسابی منتشر نموده اید مقام علمی شما را تا ردیف بزرگترین ریاضی دانان جهان بالا برده است و قسمتی از آن که شامل اکتشافات تحلیلی است تاکنون نظیرش بوجود نیامده مقارن با انتشار کتاب گائوس در سال 1801 پیازی ستاره کوچک سرس را کشف نموده یود و منجمین درصدد محاسبه مدار آن بر آمدند ولی محاسبه آن به استفاده از اعدادی منجر شد که چند کیلومتر طول داشتند گائوس شروع به کار نمود و روش کلی مطالعه این مسائل را بدست آورد در نتیجه این اکتشاف به عنوان یک منجم مشهور شد و ریاست رصدخانه گوتینگن را به دست آورد. 
گائوس در سالهای آخر زندگی مورد توجه و محبت عمومی قرار داشت ولی آنقدر که شایستگی داشت از نعمت خوشبختی بهره مند نبود در ابتدای سال 1855 کم کم از تصلب عضلات قلب و اتساع حفره های ریوی رنج می برد و آثار آب آوردن در او هویدا شد آخرین نامه ای که نوشت خطاب به سردیویه یوستر«فیزیکدان انگلیسی) و در باره اکنتشاف تلگراف الکتریکی بودصبح روز 23 فوریه 1855 در سن 78 سالگی با آرامش کامل جان سپرد در قلمرو ریاضیات نام او تا ابد جاوید خواهد ماند. 

اعداد اول

عدد اول

آنچه به اینجا پیوند دارد...      کاربر:مرادی فر      اعداد تاکسی      بزرگترین مقسوم علیه مشترک      ریاضیات      فرمولهای مولد عددهای اول      تجزیه یک عدد به عوامل اول      عدد شیطان      طبقه بندی دیگر ریاضیات

علوم ریاضی > ریاضی > شاخه های ریاضی > ریاضیات پایه > مجموعه اعداد علوم ریاضی > ریاضی > شاخه های ریاضی > ریاضیات پایه > مجموعه اعداد

(cached)

---

اعداد اول: 

تعریف: 
عدد طبیعی P>1 را عدد اول می گویند هرگاه تنها مقسوم علیه های مثبت آن 1 و P باشند. به عبارت دیگر یک عدد طبیعی اول است هرگاه جز یک و خودش بر هیچ عدد دیگری بخش پذیر نباشد. 
هر عدد طبیعی مخالف یک که اول نباشد مرکب یا تجزیه پذیر می گوییم.

به عنوان مثال اعداد 2و3و5و7 اول و اعداد 12و18و325 مرکب می باشند. 

• لازم به ذکر است که عدد یک نه اول و نه مرکب است و تنها عدد اول زوج عدد 2 است.

---

اگر n عددی مرکب باشد می توان گفت:  

• نتیجه: اگر P عددی اول . a و b اعدادی طبیعی باشند، در این صورت:

برهان: 
چون P عددی اول است بنابراین تنها دو مقسوم علیه متمایز دارد. از اینکه P=ab و aنتیجه می شود a , b دو مقسوم علیه متمایز P می باشند چون: a|P ,b|P و بنابر تعریف a=1 , b=P خواهد بود.

---

• حال به بیان چند قضیه مهم در باره اعداد اول می پردازیم:
• قضیه 1) هر عدد صحیح بجز یک و منفی یک دارای حداقل یک مقسوم علیه اول است.

برهان: 
فرض می کنیم a عددی صحیح باشد که مخالف یک و منفی یک است. اگر a=0 باشد در این صورت تمامی اعداد صحیح از جمله اعداد اول a را می شمارند و حکم برقرار است. حال فرض می کنیم a مخالف صفر باشد و نشان می دهیم a دارای حداقل یک مقسوم علیه اول است. برای این منظور مجموعه مقسوم علیه های مثبت و بزرگتر از یک a را به این صورت تعریف میکنیم:  
مجموعه S ناتهی است چرا که:  
پس:. از طرفی دیگر مجموعه S زیرمجموعه اعداد طبیعی است پس بنابر اصل خوشترتیبی S دارای عضو ابتدا(مینیمم) چون P است.  
نشان می دهیم که P عددی اول است. برای اثبات ادعا از برهان خلف استفاده می کنیم: 
به برهان خلف فرض می کنیم P عددی اول نباشد، پس P عددی مرکب است لذا: 
 ,این نتیجه می دهد:  
از طرفی دیگر:  که این نتیجه می دهد:. 
و این با مینیمم بودن P در تناقض است چون: و لذا فرض خلف باطل و چنین نیست که P اول نباشد پس P اول است. به این ترتیب نشان داده شد عدد a حد اقل یک مقسوم علیه اول دارد.

• قضیه 2) بی نهایت عدد اول وجود دارد.

برهان: 
برای اثبات این قضیه از برهان خلف استفاده می کنیم. به برهان خلف فرض می کنیم تعداد اعداد اول متناهی باشد و به فرض  تنها اعدد اول موجود باشند. قرار می دهیم: 

بوضوح M بزرگتر از یک و طبیعی است پس بر طبق قضیه قبل می توان گفت M دارای حداقل یک مقسوم علیه اول است و چون تعداد اعداد اول موجود محدود است آن مقسوم علیه اول یکی از اعداد  است به فرض عضوی چون:  داریم: 
 
که این با اول بودن  در تناقض است چون  نه اول و نه مرکب است . و لذل فرض خلف باطل و حکم برقرار است و تعداد اعداد اول بی شمار است.

• لازم به توضیح است که این قضیه نخستین بار توسط اقلیدس در حدود سال 300 قیل از میلاد اثبات گردیده است.
• قضیه 3) هر عدد مرکب n دارای حداقل یک مقسوم علیه اول کوچکتر یا مساوی  است.

برهان 
چون n مرکب است پس:  
حال نشان می دهیم که:  
به برهان خلف اگر:  آنگاه  و در نتیجه:  که این تناقض است و لذا فرض خلف باطل و حکم برقرار است یعنی: حال چون a بزرگتر از یک است پس a دارای حداقل یک مقسوم علیه اول مانند p است. داریم: 
 
و از سوی دیگر:  
پس p عددی اول است که در شرایط قضیه صدق می کند و لذا حکم برقرار است.

• لازم به توضیح است که قضیه فوق اساس روش غربال اراتستن است.

• قضیه4) اگر n عددی طبیعی و بزرگتر از 2 باشد, حتما" بین n و 2n عدد اولی وجود دارد. (قضیه چپیشف)

---

• قضیه بنیادی حساب:

هر عدد طبیعی بزرگتر از یک را می توان به صورت یکتایی به صورت حاصل ضرب عوامل اول نوشت. 
به عبارت دیگر اگر n عددی طبیعی و بزرگتر از 1 باشد: 
که در آن  ها اعداد اول متمایر می باشند. 
این نمایش را تجزیه عدد n به عوامل اول می گوییم.

همچنین اگر n<-1 باشد باز هم می توان n را به صورت یکتایی به صورت حاصل ضرب عوامل اول نوشت: 

که در آن  ها اعداد اول متمایز می باشند. 

• توجه: اگر n=1 باشد آنگاه  که در ان P هر عدد اولی است.
• لازم به توضیح است که ممکن است در تجزیه یک عدد طبیعی به عوامل اول، تعدادی از عوامل یکسان باشند. به عنوان مثال:12=2×2×3

تجزیه استاندارد یک عدد: 
اگر n>1 عددی طبیعی باشد آنگاه عدد n را می توان به شکل یکتایی به صورت: 

که در آن  ها اعداد اول متمایز و  اعداد طبیعی اند. 
این روش نمایش و تجزیه عدد را تجزیه متعارف، استاندارد، یا کانونیک عدد n می گویند.

• توجه:  بزرگترین توان  که:  را به صورت  می دهند.

به عنوان مثال تجزیه استاندارد 12 به عوامل اول به صورت مقابل است: 

---

همچنین ببینید

• عدد صحیح
• قضیه اعداد اول
• قضیه بنیادی حساب و نتایج آن
• فرمول‌های مولد عددهای اول
• انگاره‌ی گلدباخ
• اعداد اول دوقلو
• جدول اعداد اول
• غربال اراتستن

تابع

تابع

آنچه به اینجا پیوند دارد...      توابع کسری      کاربردهای مشتقات جزئی      ریاضیات کمیتهای متغیر      تابع یک به یک و پوشا      اکسترمم      سری تیلور      مفهوم دنباله      تابع قدرمطلق      مقالات جدید ریاضی      ماکسول      لاپلاس      پوانکاره      ریاضیات گسسته      اوگستن کوشی      کامپایلر      آنالیز      مشتق      معادلات دیفرانسیل      حد      ساده کردن مدارات      محاسبه انتگرال به روش سیمپسون      صفحات ریاضی همراه با انیمیشن      سری مثلثاتی      ریاضیات      انتگرال نامعین      پیوستگی      سریها      مختصات پارامتری      معکوس توابع هیپربولیک      توابع جبری      تابع مرکب      توابع لگاریتمی      توابع مثلثاتی معکوس      توابع چند متغیره      انتگرال      سری      مفهوم تابع      استقرا      اصل ناوردایی (المپیاد)      تابع علامت      منحنی های کروی      تابع نمایی e      قانونهای پیشرفت ریاضیات      ریاضیات امروزی      ویژگیهای ریاضیات      مشتقگیری ضمنی      کاربرد مشتق در ترسیم توابع      توابع صعودی و نزولی      مشتق پذیری و پیوستگی      کاربردهای فیزیکی انتگرالهای چندگانه      پیوستگی توابع      محاسبه کار با انتگرال گیری      کتابهای ریاضیات گسسته      اوضاع نسبی گزاره‌ها      قضیه مقدار میانگین      قضیه رول      توزیع‌های احتمال      کاربردهای گراف      حد دنباله

علوم ریاضی > ریاضی > حساب دیفرانسیل و انتگرال

(cached)

---

در ریاضیات ، تابع رابطه‌ای است که رابطه بین اعضای یک مجموعه را با اعضایی از مجموعه‌ای دیگر (شاید یک عضو از مجموعه) را بیان می‌کند. نظریه درباره تابع یک پایه اساسی برای خیلی از شاخه‌های ریاضی به حساب می‌آید. مفاهیم تابع ، نگاشت و تبدیل معمولاً مفاهیم مشابه‌ای هستند. عملکرد ها معمولاً دو به دو بین اعضای تابع وارد عمل می‌شوند.

تعریف تابع

در ریاضیات تابع عملکردی است که برای هر ورودی داده شده یک خروجی منحصر بفرد تولید می‌کند معکوس این مطلب را در تعریف تابع بکار نمی‌برند. یعنی در واقع یک تابع می‌تواند برای چند ورودی متمایز خروجیهای یکسان را نیز تولید کند. برای مثال با فرض y=x² با ورودیهای 5- و 5 خروجی یکسان 25 را خواهیم داشت. در بیان ریاضی تابع رابطه‌ای است که در آن عنصر اول به عنوان ورودی و عنصر دوم به عنوان خروجی تابع جفت شده است. 

به عنوان مثال تابع f(x)=x² بیان می‌کند که ارزش تابع برابر است با مربع هر عددی مانند x 

در واقع در ریاضیات رابطه را مجموعه جفتهای مراتب معرفی می‌کنند. با این شرط که هرگاه دو زوج با مولفه‌های اول یکسان در این رابطه موجود باشند آنگاه مولفه‌های دوم آنها نیز یکسان باشد. همچنین در این تعریف خروجی تابع را به عنوان مقدار تابع در آن نقطه می‌نامند. مفهوم تابع اساسی اکثر شاخه‌های ریاضی و علوم محاسباتی می‌باشد. همچنین در حالت کلی لزومی ندارد که ما بتوانیم فرم صریح یک تابع را به صورت جبری آلوگرافیکی و یا هر صورت دیگر نشان دهیم. 

فقط کافیست این مطلب را بدانیم که برای هر ورودی تنها یک خروجی ایجاد می‌شود در چنین حالتی تابع را می‌توان به عنوان یک جعبه سیاه در نظر گرفت که برای هر ورودی یک خروجی تولید می‌کند. همچنین لزومی ندارد که ورودی یک تابع ، عدد و یا مجموعه باشد. یعنی ورودی تابع را می‌توان هر چیزی دلخواه در نظر گرفت البته با توجه به تعریف تابع و این مطلبی است که ریاضیدانان در همه جا از آن بهره می‌برند. 

تاریخچه تابع

نظریه مدرن توابع ریاضی بوسیله ریاضیدان بزرگ لایب نیتر مطرح شد همچنین نمایش تابع بوسیله نمادهای (y=f(x توسط لئونارد اویلر در قرن 18 اختراع گردید، ولی نظریه ابتدایی توابع به عنوان عملکرهایی که برای هر ورودی یک خروجی تولید کند توسط جوزف فوریه بیان شد. برای مثال در آن زمان فوریه ثابت کرد که هر تابع ریاضی سری فوریه دارد.

چیزی که ریاضیدانان ما قبل اوبه چنین موردی دست نیافته بودند، البته موضوع مهمی که قابل ذکر است آنست که نظریه توابع تا قبل از بوجود آمدن نظریه مجموعه‌ها در قرن 19 پایه و اساس محکمی نداشت. بیان یک تابع اغلب برای مبتدی‌ها با کمی ابهام همراه است، مثلا برای توابع کلمه x را به عنوان ورودی و y را به عنوان خروجی در نظر می‌گیرند ولی در بعضی جاها y,x را عوض می‌کنند. 

ورودی تابع

ورودی یک تابع را اغلب بوسیله x نمایش می‌دهند. ولی زمانی که ورودی تابع اعداد صحیح باشد. آنرا با x اگر زمان باشد آنرا با t ، و اگر عدد مختلط باشد آنرا با z نمایش می‌دهند. البته اینها مباحثی هستند که ریاضیدانان برای فهم اینکه تابع بر چه نوع اشیایی اثر می‌کند بکار می‌رود. واژه قدیمی آرگومان قبلا به جای ورودی بکار می‌رفت. همچنین خروجی یک تابع را اغلب با y نمایش می‌دهند در بیشتر موارد به جای f(x) , y گفته می‌شود. به جای خروجی تابع نیز کلمه مقدار تابع بکار می‌رود. خروجی تابع اغلب با y نمایش داده می‌شود. ولی به عنوان مثال زمانی که ورودی تابع اعداد مختلط باشد، خروجی آنرا با "W" نمایش می‌دهیم. (W = f(z 

تعریف روی مجموعه‌ها

یک تابع رابطه‌ای منحصر به فرد است که یک عضو از مجموعه‌ای را با اعضای مجموعه‌ای دیگر مرتبط می‌کند. تمام روابط موجود بین دو مجموعه نمی‌تواند یک تابع باشد برای روشن شدن موضوع ، مثالهایی در زیر ذکر می‌کنیم: 

این رابطه یک تابع نیست چون در آن عنصر 3، با دو عنصر ارتباط دارد. که این با تعریف تابع متناقص است چون برای یک عنصر از مجموعه، دو عنصر در مجموعه موجود است 

• این رابطه یک تابع یک به یک است. چون به ازای هر x یک y وجود دارد.

تعریف ساخت یافته تابع

بطور ساخت یافته یک تابع از مجموعه x به مجموعه y بصورت f:x→y نوشته می‌شود و به صورت سه تایی مرتب ( (x,y,G(f) نمایش داده می‌شود. بطوری که (G(f زیر مجموعه‌ای از حاصلضرب کارتزین xy می‌باشد. با این شرط که به ازای هر x در X یک Y متعلق به Y نسبت داد شود. با این شرط زوج مرتب (x,y) را در داخل (G(f می‌پذیریم. در این حالت نیز X را به عنوان دامنه f و y را به عنوان برد fو (G(f را به عنوان نمودار و یا گراف تابع F در نظر می‌گیرند. 

خواص توابع

توابع می‌توانند: 

• زوج یا فرد باشند.
• پیوسته یا ناپیوسته باشند.
• حقیقی یا مختلط باشند.
• اسکالر یا برداری باشند.

توابع چند متغیره

یک تابع ممکن است بیشتر از یک متغیر داشته باشد برای مثال  یک تابع از f است که دارای سه پارامتر x,y,z است که یک ارزش را برای تابع تولید می‌کنند. از توابع چند متغیره می‌توان به قانون جاذبه نیوتن اشاره کرد که در آن دو جرم با متغیر  و  و نیز یک متغیر برای فاصله هر جرم به نام در آن وجود دارد. 

با مقدار دهی به سه پارامتر فوق مقدار تابع F محاسبه خواهد شد. 

مباحث مرتبط با عنوان

• رابطه
• مفهوم تابع
• اعمال جبری روی توابع
• دامنه توابع
• برد توابع
• تابع یک به یک و پوشا
• توابع زوج و فرد
• تابع متناوب
• تابع همانی
• تابع ثابت
• تابع علامت
• تابع دیریکله
• تابع وارون
• ترکیب توابع
• توابع مثلثاتی
• توابع وارون مثلثاتی
• توابع هایپربولیک
• تابع زتای ریمان
• تابع اتای دیریکله
• توابع پله‌ای
• توابع پیوسته
• توابع تحلیلی
• توابع گسسته
• حساب دیفرانسیل و انتگرال
• دامنه توابع
• حد و پیوستگی
• مشتق توابع

انتگرال

• محاسبه انتگرال
• تقریب انتگرالهای معین
• تعریف های انتگرال
• سایتهای مرتبط
• پیوندهای خارجی

در حساب دیفرانسیل و انتگرال ، از انتگرال یک تابع برای عمومیت دادن به محاسبه مساحت ، حجم ، جرم یک تابع استفاده می شود. فرایند پیدا کردن جواب انتگرال را انتگرال گیری گویند.البته تعاریف متعددی برای انتگرال گیری وجود دارد ولی در هر حال جواب مشابه ای از این تعاریف بدست می آید. انتگرال یک تابع مثبت پیوسته در بازه (a,b) در واقع پیدا کردن مساحت بین خطوط x=0 , x=10 و خم منفی F است . پس انتگرال F بین a و b در واقع مساحت زیر نمودار است. اولین بار لایب نیتس نماد استانداری برای انتگرال معرفی کرد و به عنوان مثال انتگرال f بین a و b رابه صورت  نشان می دهند علامت  ،انتگرال گیری از تابع f را نشان می دهند ،aو b نقاط ابتدا و انتهای بازه هستند و f تابعی انتگرال پذیر است و dx نمادی برای متغیر انتگرال گیری است. 

انتگرال یک تابع مساحت زیر نمودار آن تابع است.

از لحاظ تاریخی dx یک کمیت بی نهایت کوچک را نشان می دهد. هر چند در تئوریهای جدید، انتگرال گیری بر پایه متفاوتی 
پایه گذاری شده است به عنوان مثال تابع f را بین x=0 تا x=10 در نظر بگیرید ،مساحت زیر نمودار در واقع مساحت مستطیل خواهدبود که بین x=0 ،x=10 ،y=0 ،y=3 محصور شده است یعنی دارای طول 10 و عرض 3است پس مساحت آن برابر 30 خواهد بود . 

اگر تابعی دارای انتگرال باشد به آن انتگرال پذیر گویند و تابعی که از انتگرال گیری از یک تابع حاصل می شود تابع اولیه گویند . اگر انتگرال گیری از تابع در یک محدوده خاص باشند به آن انتگرال معین گویند که نتیجه آن یک عدد است ولی اگر محدوده آن مشخص نباشد به آن انتگرال نامعین گویند. 

محاسبه انتگرال

اکثر روش های اساسی حل انتگرال بر پایه قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال بنا نهاده شده است که بر طبق آن داریم: 

1.f تابعی در بازه (a,b) در نظر می گیریم . 
2.پاد مشتق f را پیدا می کنیم که تابعی است مانند f که و داریم:  
3.قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال را در نظر می گیریم: 

 

بنابراین مقدار انتگرال ما برابر  خواهد بود. 

به این نکته توجه کنید که انتگرال واقعاً پاد مشتق نیست (یک عدد است) اما قضیه اساسی به ما اجازه می دهد تا از پاد مشتق برای محاسبه مقدار انتگرال استفاده کنیم . 
معمولاً پیدا کردن پاد مشتق تابع f کار ساده ای نیست و نیاز به استفاده از تکنیکهای انتگرالگیری دارد این تکنیکها عبارتند از : 

• انتگرال گیری بوسیله تغییر متغیر
• انتگرال گیری جزء به جزء
• انتگرال گیری با تغییر متغیر مثلثاتی
• انتگرال گیری بوسیله تجزیه کسرها

روش هایی دیگر نیز وجود دارد که برای محاسبه انتگرالهای معین به کار می رود همچنین می توان بعضی از انتگرال ها با ترفند هایی حل کرد برای مثال می توانید به انتگرال گاوسی مراجعه کنید . 

تقریب انتگرالهای معین

محاسبه سطح زیر نمودار بوسیله مستطیل هایی زیر نمودار.
هر چه قدرعرض مستطیل ها کوچک میشوندمقدار دقیق تری
از مقدار انتگرال بدست میآید.

انتگرال هایی معین ممکن است با استفاده از روش های انتگرال گیری عددی ،تخمین زده شوند.یکی از عمومی ترین روش ها ،روش مستطیلی نامیده می شود در این روش ناحیه زیر نمودار تابع به یک سری مستطیل تبدیل شده و جمع مساحت آنها نشان دهنده مقدار تقریبی انتگرال است. 
از دیگر روش هایی معروف برای تخمین مقدار انتگرال روش سیمپسون و روش ذوزنقه ای است. اگر چه روش های عددی مقدار دقیق انتگرال را به ما نمی دهند ولی در بعضی از مواقع که انتگرال تابعی قابل حل نیست یا حل آن مشکل است کمک زیادی به ما می کند . 

تعریف های انتگرال

از مهم ترین تعاریف در انتگرال می توان از انتگرال ریمان و انتگرال لبسکی(lebesgue) است. انتگرال ریمان بوسیله برنهارد ریمان در سال 1854 ارئه شد که تعریف دقیقی را از انتگرال ارائه می داد تعریف دیگر را هنری لبسکی ارائه داد که طبق این تعریف شرایط تعویض پذیری حد و انتگرال با شرط مساوی ماندن عبارت، ارائه می کرد. 
از دیگر تعاریف ارائه شده در زمینه انتگرال میتوان به انتگرال riemann-stieltjes اشاره کرد. پس به طور خلاصه سه تعریف زیر از مهمترین تعاریف انتگرال میباشند: 

• انتگرال ریمان
• انتگرال لبسکی
• انتگرال riemann-stieltjes
• انتگرالهای چند گانه
• روشهای انتگرال گیری

 

سایتهای مرتبط

مشتق

مشتق یکی از مهمترین مفاهیم ریاضی است. بوسیله مشتق میتوان برخی از مفاهیم فیزیکی (مانند سرعت و شتاب)با تعاریف ریاضی بیان نمود. 
ااگر منحنی یک تابع را در فضای دو بعدی در نظر بگیریم بوسیله مشتق میتوانیم شیب خط مماس بر منحنی را در هر نقطه دلخواه بدست آوریم.همچنین با استفاده از مشتق میتوان خواص هندسی منحنی یک تابع مانند تقعر و تحدب را مشخص کرد. 
البته باید به این نکته توجه کرد که هر تابعی در هر نقطه نمیتواند مشتق داشته باشد و به طور کلی مشتق پذیری یک تابع در یک نقطه شرایط خاصی میطلبد. 

مشتق گیری و مشتق پذیری

در گذشته های نه چندان دور، مشتق یک تابع را به صورت زیر نشان می دادند: 

 
که در این فرمولنشان دهنده میزان تغییرات یک کمیت است. ولی در حال حاضر برای محاسبه مشتق توابع،بیشتر از فرمول زیر استفاده میکنند: 

 
معمولا از نمادهای زیر برای نشان دادن مشتق تابع f نسبت به متغیر x، استفاده میکنند: 

 

 

یک تابع را در نقطه ای مانند x مشتق پذیر گویند اگردر آن نقطه مشتق موجود باشد. و برای مشتق پذیری تابع در یک بازه لازم است تابع در هر نقطه دلخواه از بازه مشتق پذیر باشد.اگر تابع در نقطه ای مانند c پیوسته نباشد آنگاه در c نمیتواند مشتق پذیر باشد.البته لازم به ذکر است که پیوستگی در یک نقطه وجود مشتق را تضمین نمیکند.مشتق یک تابع مشتق پذیر میتواند خود نیز مشتق پذیر باشد،که به مشتق آن مشتق دوم تابع گویند.مشتق مراتب بالاتر نیز به همین ترتیب تعریف میشوند. 

بررسی مشتق از نظر هندسی

از نظر هندسی مشتق یک تابع در یک نقطه دلخواه ،شیب خط مماس بر منحنی در آن نقطه است.البته پیدا کردن مستقیم شیب خط مماس در یک نقطه کار دشواری است.زیرا فقط مختصات یک نقطه از خط مماس را داریم.(برای پیدا کردن شیب یک خط از مختصات دو نقطه بر روی خط استفاده میکنیم)برای حل این مشکل از یک خط متقاطع استفاده کرده و این خط را به خط مماس نزدیک میکنیم.برای درک بهتر موضوع به شکل مقابل توجه نمایید.در این شکل خط متقاطع با رنگ بنفش و خط مماس با رنگ سبز مشخص شده است و عددی که در تصویر تغییر میکند نشان دهنده شیب خط متقاطع میباشد. حال از دیدگاه ریاضی این روش را بیان میکنیم: 
از دیدگاه ریاضی بدست آوردن مشتق با حدگیری از شیب خط قاطع که به خط مماس نزدیک شده است بدست می آید.پیدا کردن شیب نزدیکترین خط متقاطع به خط مماس با استفاده از کوچکترین h در فرمول زیر حاصل میشود: 

 

عکس پیدا نشد

بزرگنمایی خط مماس بر یک نقطه روی خط

در این فرمول h به عنوان کوچکترین تغییر متغیر x تعریف میشودو میتواند مقدار مثبت یا منفی اختیار کند. در این فرمول شیب خط با استفاده از نقاط  و  حاصل میشود.واضح است که در این روش فقط یک نقطه روی خط برای ما معلوم است و نیازی برای بدست آوردن نقطه دوم روی خط وجود ندارد.همچنین در این روش مشتق x ،حاصل حد زیر است: 

 

ارتباط مشتق با علم فیزیک

مشتق نقش مهمی در تعریف برخی ار کمیتهای فیزیک حرکت دارد.ما با داشتن موقعیت اجسام بر حسب زمان میتوانیم سرعت و شتاب آنها را محاسبه کنیم.اگر ما از معادله مکان جسم بر حسب زمان مشتق بگیریم معادله سرعت بدست میآید و اگر از معادله سرعت مشتق گیری نماییم(مشتق دوم معادله مکان)معادله شتاب حاصل میشود. 

نقاط بحرانی

نقاطی از تابع که به ازای آنها مشتق تابع تعریف نشده و یا برابر صفر باشد را نقاط بحرانی مینامند.اگر مشتق دوم در یک نقطه بحرانی مثبت باشد،آن نقطه مینیمم نسبی است.و اگر منفی باشدماکزیمم نسبی است،و اگر برابر صفر باشد ممکن است ماکزیمم و مینیمم نسبی نباشد.مشتق گرفتن و بدست آوردن نقاط بحرانی،اغلب ساده ترین راه برای پیدا کردن مینیمم و ماکزیمم نسبی است.(در بهینه سازی نیز این روش بسیار مفید است.به طور کلی مینیمم و ماکزیمم نسبی فقط میتوانند جزئ نقاط بحرانی باشند. 

تجزیه و تحلیل نمودارها

مشتق ابزار مناسبی برای آزمودن نمودار تابع است. نقاطی از دامنه تابع که به ازای آنها مشتق اول برابر صفر شود میتوانند نقاط اکسترمم نسبی تابع باشند.البته باید توجه کرد که تمام نقاط بحرانی نقاط اکسترمم نسبی نیستند.برای مثال تابع  یک نقطه بحرانی در x=0 دارد، ولی میتوان از نمودار تابع متوجه این نکته شد که تابع در این نقطه دارای ماکزیمم یا مینیمم نسبی نیست. 
آزمون مشتق اول و آزمون مشتق دوم ، روش هایی را برای تشخیص نقاط ماکزیمم و مینیمم نسبی فراهم میکند.لازم به ذکر است در فضاهای چند بعدی نقاط اکسترمم را با استفاده از مشتقات جزئی بدست میآورند. 

 

استقرا

مقدمه

برای درک مفهوم استقرا به مراحل اثبات یکی از برابری‌های ساده در ریاضیات توجه کنید: 
مجموع اعداد طبیعی زیر را در نظر بگیرید: 

 

 

 

 

اگر به طور که بخواهیم  را بدست بیاوریم یک راه این است که الگویی از مجموع اعداد بالا بدست آورده و سعی در اثبات آن نمائیم. 

 

 

 

 

و به این ترتیب الگوی  را برای مجموعة فوق در نظر می‌گیریم. 
این الگو در حقیقت یک گزاره بر روی اعداد طبیعی می‌باشد که می‌توان آن را با به معنی  نمایش داد. 
اگر چه اثبات این الگو به طور مستقیم و بدون کمک به استقرا به سادگی ممکن می‌باشد ولی در حل مسائل ریاضی به دفعات به حدس‌هایی برمی‌خوریم که اثبات آنها می‌تواند مشکل باشد در ایدة استقرا یکی از زیباترین ایده‌های موجود برای کمک به ما می‌باشد. 
برای آنکه بیشتر آمادگی ذهنی برای درک استقرا پیدا کنیم به همان مثال مجموع اعداد 1 تا می‌رویم، و می‌خواهیم گزارة را که گزاره‌ای دربارة عدد  می‌باشد ثابت کنیم. 
در ایدة استقرا که جلوتر به تعریف دقیق آن می‌پردازیم نخست باید برای های کوچک درستی را نشان دهیم مانند: 

 

حال می‌دانیم لااقل برای تعدادی از ابتدای اعداد طبیعی درست است. اکنون با فرض آنکه برایحکم درست باشد، درستیرا نتیجه می‌گیریم (دقت کنید درستی را فرض می‌کنیم. 

خوب حال شما بگوئید ما برای چند عدد طبیعی کوچکترین درستیرا ثابت کرده و با فرض درستی  درستی را ثابت کردیم، با این حساب آیا می‌توان گفت که برای تمامی اعداد طبیعی برقرار است؟ ! 
به موضوع بالا فکر کنید چون اگر چه بعداً توضیح داده می‌شود ولی اگر اکنون آن را برای خود تجزیه و تحلیل کنید برای درک مطالب آینده راحت‌تر خواهید بود. 

---

چند نماد پرکاربرد

نماد مجموع : از این جا به بعد با مجموع پشت سرهم دنباله‌ای از اعداد سروکار خواهیم داشت. برای نشان دادن مجموع از نماد  استفاده می‌کنیم، و این نماد یعنی تابع  از حداقل مقدار 1 شروع شده و تا حداکثر می‌رود و حاصل تمام مقادیر با هم جمع می‌شود. به طور کلی چند نمونه پرکاربرد: 
 به جای  
 به جای 
 به جای  
و به همین ترتیب … 
و به طور کلی 
از  به جای  
استفاده می‌شود. 
دقت کنید در نماد  که آن را سیگما بخوانید سه قسمت مهم وجود دارد که در شکل قبل نشان داده شده است. 

قضیه .

می‌توان سیگمای مجموع دو تابع یعنی  را به صورت مجموع دو سیگما هر یک از توابع یعنی  نوشت. 

قضیه .

 که k عددی ثابت است. 
دو قضیه بالا به راحتی قابل اثبات بوده و از اثبات آنها صرف‌نظر می‌کنیم. 

نماد حاصل‌ضرب 

به طریق مشابه برای حاصل‌ضرب  داریم: 

به عنوان نمونه: 
 به جای  
 به جای . 

تاریخ ریاضی 10

چندی بعد ریاضیدان فرانسوی کامیل ژوردان به پیروی از کارهای کروتکر دربارة تئوری گروههای گلوا کتابی در این باره انتشار داد که از لحاظ انتشار موضوع دارای اهمیت فوق‌العاده می‌باشد بطوری که تئوری گروهها همچون کلید سحرآمیزی به نظر می‌رسید که با نهایت استادی دستگاه دقیق و ظریف معادلات جبری را می‌گشود و در ساختمان آن آنقدر هنر به کار رفته بود که در عین حال در مسائل هندسی نیز مورد استفاده قرار می‌گرفت، و این کار در سال 1871 به کوششریاضیدان آلمانی فلیکس کلاین صورت گرفت. 

پل پنلوه یکی دیگر از ریاضیدانان فرانسوی مسائل زیادی راجع به معادلات دیفرانسیل حل کرد و موارد استعمالی که بعدها در مکانیک برای آن یافت کاملاً جنبة کلاسیک پیدا کرد، و در همه جا تدریس می‌شود.

همچنین در نتیجه مساعی پنلوره و پیشقدمان او بود که مکانیک بصورت علمی کامل و جامع درآمد. 

ویتوولترا ریاضیدان برجستة ایتالیائی درسال 1896 معادلات انتگرال را کشف کرد و وسیلة پژوهش جدیدی بدست صنعتگران فیزیک ریاضی داد و سپس درصدد برآمد موضوع را تعمیم دهد و آنالیز جدیدی اختراع کند که دیگر از مقادیر Y و X و غیره بحث ننماید، بلکه بطور کلی توابع را در روابط وارد سازد. این اختراع جدید که «حساب توابع» نام داشت تاج سر علوم ریاضی از عهد عتیق تا زمان حال بود و در حقیقت نقطة انتهائی این تکامل محسوب می‌شد. 

در اوایل قرن بیستم ماکس پلانک آلمانی و نیاز بوهر دانمارکی کوانتا را در اتم بکار بردند و طولی نکشید که نخستین فتح این تئوری ظهور کرد و آن تئوری مشهورآلبرت انیشتین آلمانی بود که معمولاً تئوری نسبیت خوانده می‌شود. 

داوید هیلبرت آلمانی که از بزرگترین ریاضیدانان نیمة اول قرن بیستم و در عداد بزرگترین ریاضیدانان تمام تاریخ بشر محسوب می‌شود در سال 1899م کتابی به نام «اصول اساسی هندسی» انتشار داد که هدف آن مربوط کردن اصول موضوعة هندسه به اصول حساب برای جلوگیری از تناقضات بود.

ابداعات این مرد بزرگ در تمام شعب ریاضی اعم از جبر و هندسه و آنالیز و توپولوژی و حساب و غیره آنقدر اساسی و مهم است که شاید تا صدها سال دیگر نیز ریاضیدانان از گنجینه‌های آن بهره‌برداری کنند.

متأسفانه این دانشمند نامی که یهودی هم نبود در 81 سالگی بواسطه زجر و شکنجة عمال هیتلر در یکی از اردوگاههای اسیران جنگی درگذشت. 

هنری لوبگ فرانسوی نیز یکی دیگر از ریاضیدانان بزرگ نمیه اول قرن بیستم است. وی درباره انتگرال مفهوم جدیدی بدست داد که از نظر عادی آنالیز را بکلی تغییر می‌داد. مسألة اندازه‌گیری «آنسامبل»‌ها و تئوری انتگرال لوبگ از اساسی‌ترین ترقیات دانش در نیمة اول قرن بیستم می‌باشد.

بطوری که می‌توان گفت بسیاری از ترقیات مهم آنالیز ریاضی و تئوری توابع و حساب احتمالات و آمار ریاضی و حتی دانش فیزیک مرهون این ابداع مهم می‌باشد. 

موریس دوکانی ریاضیدان دیگر فرانسوی شعبه جدید هندسه به نام نوموگرافی را که ابتدا بوسیلة ریاضیدان ایتالیائی لوئیجی کره‌مونا ایجاد شده بود فوق‌العاده بسط داد.

این حکمت جدید که برای دانشمندان و مهندسین فواید بی‌شمار دارد نمودارهای ساده‌ای را که برای نمایش قوانین عادی بکار می‌رود تعمیم می‌دهد و استعمال آباک‌ها را جانشین محاسبات عددی طویل و پیچیده می‌نماید و امروزه در علم مساحی و فنون مهندسی و نقشه‌برداری و هواپیمایی و توپخانه مورد استعمال یافته است. 

انتشار و ترویج تحصیلات جدید در نیمة اول قرن بیستم سبب آن شد که اتازونی از لحاظ پیشرفتهای علمی در رأس همة کشورها قرار گیرد و ترقیات شگرفی درزمینة علوم تجربی نصیب کشورهائی نظیر هند و ژاپن گردد.

با وجود این تمام تئوریهای بزرگ از قبیل کوانتا، نسبیت و مکانیکموجی از اروپای کهن یعنی کشورهای ایتالیا، انگلستان، فرانسه و آلمان سرچشمه می‌گیرد و در نتیجة رهبری ایشان بود که تجسسات علمی از حدود این کشورها تجاوز کرد و بین‌المللی گردید. لیکن بعد از جنگ جهانی دوم نهضت بزرگ برای پیشرفت مسائل نظری در ممالک متحدة آمریکای شمالی بوجود آمد و بخصوص در دانش ریاضی که مبنا و اساس تمام علوم نظری و عملی است فعالیت خارق‌العاده‌ای می‌شود، بطوری که این فعالیت در هیچیک از ممالک دیگر وجود ندارد و تنها کشوری که از این لحاظ با ممالک آمریکای شمالی رقابت فشرده‌ای داشت اتحاد جماهیر شوروی (سابق) بود که آن نیز کشوری جدید و غیر از اروپای کهن بود. 

امروزه ریاضیات بیش از پیش و به نحو شگرفی در حریم سایر علوم نفوذ کرده است و نه فقط علوم نجوم و فیزیک و شیمی تحت انضباط آن درآمده‌اند بلکه اصولاً ریاضیات دانش مطلق و روح علم شده است. 

تاریخ ریاضی 9

دیگر از دانشمندان بزرگ این قرن ژنرال پونسله فرانسوی می‌باشد که دارای آثاری همچون «موارد استعمال آنالیز در ریاضی» و«خواص تصویری اشکال» می‌باشد. اکتشافات پونسله باعث ترقی عظیمی در هندسه جدید گردید. وی برای اولین بار عوامل موهومی را در هندسه دخالت داد و تعبیر کرد و گذشته از آن پونسله «اصل ثنویت» و طریقة تعاکس را فراهم آورد و طریقة اخیر خود به خود هرگونه اکتشاف جدید را مضاعف می‌نماید: در حیقیقت به موجب این اصل تمام احکام هندسه تصویری دو بدو وابسته به یکدیگرند و برای رجوع از یکی به دیگری کافیست که در احکام قضایا عمل نقطه و خط را با یکدیگر عوض نمائیم. همچنین لازارکانو فرانسوی را باید نام ببریم که اکتشافات هندسی او دارای اهمیت اساسی می‌باشد.

لازار که تمام کوشش خود را برای آزاد کردن هندسه از قید آنالیز بکار می‌برد دارای آثاری نظیر «هندسه وضعی» و «مطالعات دربارة نظریة موربات» می‌باشد که در پیشرفت هندسه ترکیبی که همان باقیماندة هندسه قدما می‌باشد مؤثر واقع شد. این هندسه که از زمان دکارت به بعد مورد توجه واقع نشده بود در نتیجة اکتشافات او و نیز کشفیات پونسله و شال فرانسوی آبروی جدیدی یافت و ترقیات شگرفی نمود. 

میشل شال هندسه مطلق را با اعلی‌ترین درجة هنر و استادی و با منتهای ظرافت و زیبائی به بالاترین حد ممکن ترقی داد. هدف اصلی او این بود که مسائلهندسه را بدون کمک محاسبه مطالعه نماید. 

شال در سال 1834 افکار خود را در کتابی به نام «چشم انداز تاریخی» منتشر کرد که به دریافت جایزه‌ای از آکادمی بلژیک موفق شد و شهرتی فراوان کسب کرد و در اواخر عمر تئوری «مشخصات» را اختراع کرد که از طرف جامعة سلطنتی انگلستان به اخذ جایز نایل گردید. 

در نیمه اول قرن نوزدهم ریاضیدان نابغة روس نیکلای ایوانویچ لوباچوسکی استاد دانشگاه قازان با شجاعت تمام مطرح نمود که: اصل اقلیدس نتیجه منطقی سایر اصول هندسه نیست و بنابراین خود را درباره «هندسه غیر اقلیدسی» به جامعه ریاضیات و فیزیک قازان تقدیم کرد. در این هندسه قبول شده است که از هر نقطه واقع در خارج یک خط بی‌نهایت خط عبور می‌کند که آن را قطع نخواهد کرد. به این ترتیب لوباچوسکی این فکر را که هندسه اقلیدسی همچون آیات آسمانی حقیقت مطلق است از میان برد و این کار قدرت فکری بی‌مانند و جرأت علمی حیرت آوری لازم داشت که نتایج آن تا ایام ما نیز روز به روز ظاهر می‌شود. 

بدون شک، تردید لوباچوسکی دربارة حقیقتی که بیست و یک قرن تمام مورد تصدیق همة جهانیان بود یکی از نتایج انقلابات سیاسی و اجتماعی است که در آنوقت تمام اروپا را تحت تأثیر قرار داده بود. تقریباً در همان زمان ریاضیدان بزرگی درکشور مجارستان که تا آن موقع خارج از جریان ترقیات علمی بسر می‌برد پیدا شد که همان نتایج ریاضیدان بزرگ روسی را بدست آورد. این شخص ژان بولیه بود که اثر خود را تحت عنوان «مطالعات مقدماتی در اصول ریاضیات مطلق» دربارة هندسه غیر اقلیدسی در سال 1832 انتشار داد.

وی نیز همچون لوباچوسکی ایمان و اعتقاد قطعی به هندسه اقلیدسی را باطل دانست و راه را برای ریمان آلمانی باز کرد که بیست و دو سال بعد از این تاریخبا قدرت بی‌مانندی فتوحات دو دانشمند متقدم خود را توسعه داد. 
آن هندسه غیراقلیدسی که ریمان عرضه داشت دارای مفهومی به مراتب وسیعتر از آنچه که بولیه و لوباچوسکی در نظر داشتند می‌باشد. 

بعد از او نوبت به ریاضیدان روسی پانتونی چبیچف استاد دانشگاه سن‌پطرزبورگ رسید و از آن پس کرونکر پر وسی وارد این صحنه گردید. وی با توسعة قلمرو قدیمی اعداد جبری – اعدادی که می‌توانند ریشة یک معادلة جبری با ضرایب صحیح یا کسری باشند – طرح انقلابی را ریخت که مشابه با انقلاب غیراقلیدسی‌ها دربارة علم هندسه بود. 

چندی بعد ادوارد کومر آلمانی در نتیجه اختراع نوعی از اعداد که به اعداد «ایده‌آل» موسومند جایزه ریاضیات آکادمی علوم پاریس را بدست آورد. این اکتشافات او بعدها بوسیله آلمانی دیگر به نام دده کیند که آخرین شاگرد گائوس بود اصلاح شد. دده کیند توانست مسأله‌ای را که از زمان ادوکس تا آن موقع متوقف مانده بود‌، یعنی تعریف دقیق اعداد اندازه نگرفتنی را با نهایت کفایت مورد مطالعه قرار دهد. 

در اینجا ذکر نام دانشمندانی نظیر شارل وایراشتراس و شارل هرمیت که در مورد توابع بیضوی کشفیات ارزشمندی نمودند ضروری می‌باشد. 

وایراشتراس آلمانی در توابع آبل که تعمیم توابع بیضوی می‌باشد مطالعات فراوان کرد و تئوری توابع نامتغیر مختلط را که به وسیلة کوشی و گائوس مطالعه شده بود به باد انتقاد گرفت و موضوع را از نظر دیگری _ به وسیلة بسط توابع تحلیلی به سری‌های کامل _ مورد مطالعه قرار داد و این تئوری را بر مبانی جدیدی متکی ساخت. ی

تاریخ ریاضی 8

دیگر از دانشمندان بزرگ این قرن ژنرال پونسله فرانسوی می‌باشد که دارای آثاری همچون «موارد استعمال آنالیز در ریاضی» و«خواص تصویری اشکال» می‌باشد. اکتشافات پونسله باعث ترقی عظیمی در هندسه جدید گردید. وی برای اولین بار عوامل موهومی را در هندسه دخالت داد و تعبیر کرد و گذشته از آن پونسله «اصل ثنویت» و طریقة تعاکس را فراهم آورد و طریقة اخیر خود به خود هرگونه اکتشاف جدید را مضاعف می‌نماید: در حیقیقت به موجب این اصل تمام احکام هندسه تصویری دو بدو وابسته به یکدیگرند و برای رجوع از یکی به دیگری کافیست که در احکام قضایا عمل نقطه و خط را با یکدیگر عوض نمائیم. همچنین لازارکانو فرانسوی را باید نام ببریم که اکتشافات هندسی او دارای اهمیت اساسی می‌باشد.

لازار که تمام کوشش خود را برای آزاد کردن هندسه از قید آنالیز بکار می‌برد دارای آثاری نظیر «هندسه وضعی» و «مطالعات دربارة نظریة موربات» می‌باشد که در پیشرفت هندسه ترکیبی که همان باقیماندة هندسه قدما می‌باشد مؤثر واقع شد. این هندسه که از زمان دکارت به بعد مورد توجه واقع نشده بود در نتیجة اکتشافات او و نیز کشفیات پونسله و شال فرانسوی آبروی جدیدی یافت و ترقیات شگرفی نمود. 

میشل شال هندسه مطلق را با اعلی‌ترین درجة هنر و استادی و با منتهای ظرافت و زیبائی به بالاترین حد ممکن ترقی داد. هدف اصلی او این بود که مسائلهندسه را بدون کمک محاسبه مطالعه نماید. 

شال در سال 1834 افکار خود را در کتابی به نام «چشم انداز تاریخی» منتشر کرد که به دریافت جایزه‌ای از آکادمی بلژیک موفق شد و شهرتی فراوان کسب کرد و در اواخر عمر تئوری «مشخصات» را اختراع کرد که از طرف جامعة سلطنتی انگلستان به اخذ جایز نایل گردید. 

در نیمه اول قرن نوزدهم ریاضیدان نابغة روس نیکلای ایوانویچ لوباچوسکی استاد دانشگاه قازان با شجاعت تمام مطرح نمود که: اصل اقلیدس نتیجه منطقی سایر اصول هندسه نیست و بنابراین خود را درباره «هندسه غیر اقلیدسی» به جامعه ریاضیات و فیزیک قازان تقدیم کرد. در این هندسه قبول شده است که از هر نقطه واقع در خارج یک خط بی‌نهایت خط عبور می‌کند که آن را قطع نخواهد کرد. به این ترتیب لوباچوسکی این فکر را که هندسه اقلیدسی همچون آیات آسمانی حقیقت مطلق است از میان برد و این کار قدرت فکری بی‌مانند و جرأت علمی حیرت آوری لازم داشت که نتایج آن تا ایام ما نیز روز به روز ظاهر می‌شود. 

بدون شک، تردید لوباچوسکی دربارة حقیقتی که بیست و یک قرن تمام مورد تصدیق همة جهانیان بود یکی از نتایج انقلابات سیاسی و اجتماعی است که در آنوقت تمام اروپا را تحت تأثیر قرار داده بود. تقریباً در همان زمان ریاضیدان بزرگی درکشور مجارستان که تا آن موقع خارج از جریان ترقیات علمی بسر می‌برد پیدا شد که همان نتایج ریاضیدان بزرگ روسی را بدست آورد. این شخص ژان بولیه بود که اثر خود را تحت عنوان «مطالعات مقدماتی در اصول ریاضیات مطلق» دربارة هندسه غیر اقلیدسی در سال 1832 انتشار داد.

وی نیز همچون لوباچوسکی ایمان و اعتقاد قطعی به هندسه اقلیدسی را باطل دانست و راه را برای ریمان آلمانی باز کرد که بیست و دو سال بعد از این تاریخبا قدرت بی‌مانندی فتوحات دو دانشمند متقدم خود را توسعه داد. 
آن هندسه غیراقلیدسی که ریمان عرضه داشت دارای مفهومی به مراتب وسیعتر از آنچه که بولیه و لوباچوسکی در نظر داشتند می‌باشد. 

بعد از او نوبت به ریاضیدان روسی پانتونی چبیچف استاد دانشگاه سن‌پطرزبورگ رسید و از آن پس کرونکر پر وسی وارد این صحنه گردید. وی با توسعة قلمرو قدیمی اعداد جبری – اعدادی که می‌توانند ریشة یک معادلة جبری با ضرایب صحیح یا کسری باشند – طرح انقلابی را ریخت که مشابه با انقلاب غیراقلیدسی‌ها دربارة علم هندسه بود. 

چندی بعد ادوارد کومر آلمانی در نتیجه اختراع نوعی از اعداد که به اعداد «ایده‌آل» موسومند جایزه ریاضیات آکادمی علوم پاریس را بدست آورد. این اکتشافات او بعدها بوسیله آلمانی دیگر به نام دده کیند که آخرین شاگرد گائوس بود اصلاح شد. دده کیند توانست مسأله‌ای را که از زمان ادوکس تا آن موقع متوقف مانده بود‌، یعنی تعریف دقیق اعداد اندازه نگرفتنی را با نهایت کفایت مورد مطالعه قرار دهد. 

در اینجا ذکر نام دانشمندانی نظیر شارل وایراشتراس و شارل هرمیت که در مورد توابع بیضوی کشفیات ارزشمندی نمودند ضروری می‌باشد. 

وایراشتراس آلمانی در توابع آبل که تعمیم توابع بیضوی می‌باشد مطالعات فراوان کرد و تئوری توابع نامتغیر مختلط را که به وسیلة کوشی و گائوس مطالعه شده بود به باد انتقاد گرفت و موضوع را از نظر دیگری _ به وسیلة بسط توابع تحلیلی به سری‌های کامل _ مورد مطالعه قرار داد و این تئوری را بر مبانی جدیدی متکی ساخت. 

تاریخ ریاضی 7

ریاضی‌دانان انگلیسی سنسن و استوارت ضمن اکتشافات خود مسائل مختلفی از هندسه را استادانه مورد مطالعه قرار دادند. همچنین بروک تایلور و کولین ماکلرین کوششهای رها شدة اسحاق نیوتن را ادامه دادند. تایلور باعث توسعة فوق‌العادة آنالیز ریاضی عناصر بی‌نهایت کوچک که توسط لایب نیتس عرضه شده بود گردید و ماکلرین روش او را اصلاح کرد. 

منجم انگلیسی هالی که در هندسه قدما نیز مطالعة بسیار می‌کرد آثار منلائوس و آپولونیوس را به چاپ رسانید و اولین راه حل مسألة یک مقطع مخروطی را با معلوم بودن سه نقطه ویک کانون آن به دست داد. 

آبراهام مواور پروتستان فرانسوی که به انگلستان تبعید شده بود یک قضیة اصلی و اساسی دربارة اعداد موهومی ابداع کرد. 

همچنین میش رول فرانسوی قضیه مهمی در جبر ابداع کرد و هموطن دیگر او آنتوان پاران هندسه تحلیلی دکارت را به فضای سه بعدی تعمیم داد. از جمله دانشمندانی که برای بسط کارهای لایب نیتس می‌کوشیدند می‌توان خانوادة برتونی را نام برد. این خانواده از اهالی آنورس بلژیک بودند که به یال از شهرهایآلمان فرار کرده بودند. 

ارشد ایشان ژاک اول حساب دیفرانسیل لایب نیتس را در دانشگاه بال تدریس می‌کرد. وی از جملة کسانی است که چگونگی محاسبة انتگرالها را تعلیم می‌داد. بعد از مرگ او برادرش ژان اول جانشین وی شد. 

دیگر لئونارداولر ریاضی‌دان بزرگ سوئیسی است که در 15 آوریل 1707م در شهر بال متولد شد و در 17 سپتامبر 1783م در روسیه درگذشت. 

در اواخر قرن هیجدهم و اوایل قرن نوزدهم کشور فرانسه پیشرو نهضت علمی اروپا بود و این پیشرفت را باید نتیجه انقلاب کبیر سال 1789م دانست که باعث تهییج حس ملی مردم شد و علم را لازمة زندگی قرارداد و به این ترتیب جنبش جدیدی در جستجوها و کشفیات علمی بوجود آورد. نفوذ آزادی خواهانة انقلاب در عین حال که زوائد خفه کننده علم را از آن دور کرد کشور فرانسه را نیز به مقام راهنمای علمی اروپا ارتقاء داد. 
ارتقاء به این مقام بواسطة وجود مردانی نظیر لاگرانژ، لاپلاس، لژاندر، مونژ، فوریه و غیره بود. عمومی شدن تحصیلات علمی و ترویج کامل آن بطور محسوسی جستجوها و کشفیات علمی را افزایش داد. به این ترتیب بهترین و مشهورترین دانشمندان فرانسه نخستین میوه‌های شیرین دوران انقلاب را می‌چیدند. 

لاگرانژ از جملة بزرگترین ریاضی‌دانان تمام ادوار تاریخ بشر است. وی در 19 سالگی حساب تغییرات را اختراع کرد که روش جدیدی در آنالیز است و به کمک آن خیلی سهلتر از حساب دیفرانسیل بعضی از مسائل مربوط به ماکزیمم و مینیمم را حل کرد. وی براساس کارهای دالامبر تمام متدهای مختلفی را که تا آنروز برای حل مسائل مکانیک مورد استفاده قرار می‌گرفت جمع نمود. «مکانیک تحلیلی» او که در سال 1788م عمومیت پیدا نمود بزرگترین شاهکار وی بشمار می‌آید. همچنین در سال 1797م تئوری توابع تحلیلی خود را نوشت که فجر دوران جدید را اعلام می‌کرد. دو سال بعد «حل معادلات عددی» را انتشار داد و قدرت خویش را در سیاحت راههای جدیدی که خود برای آنالیز باز کرده بود مضاعف ساخت. این دانشمند گرانقدر که ))ناپلئون او را «هرم مرتفع علوم ریاضی» می‌نامید در دهم آوریل 1813 در ««پاریس، شهری که انقلاب زمینه افتخار را برایش تدارک دیده بود زندگی را بدرود گفت. 

لاپلاس که در تدریس ریاضی دانشسرای عالی پاریس معاون لاگرانژ بود علاقه زیاد به علوم دقیقه داشت. وی با انتشار کتبی از قبیل «تئوری تحلیلی احتمالات» (1812) و «مطالعات فلسفی دربارة احتمالات» (1814) حساب احتمالات را تکمیل نمود و از سال 1799تا سال 1825 کتابی تحت عنوان «مکانیکآسمانی» در پنج جلد انتشار داد. 
گاسپارمونژ، این ریاضی‌دان انقلابی و نابغة دانشمند هنگامی که هنوز بیست سال نداشت شاخة جدید علم هندسه بنام «هندسه ترسیمی» را بوجود آورد. در این هندسه اشکال مجسم را به وسیلة دو تصویر آنها روی صفحات قائم و افقی نمایش می‌دهند و برای اینکار دو صفحة مزبور را همچون کتابی که روی میز بازمانده، باشد، بر روی یک صفحه تسطیح می‌‌نمایند. این طریقه که امروز مبنای همة ترسیمات ماشینها و معماری است نسبت به روشهای تجربی و مبهم قدیم آنقدر بزرگ و مهم بود که مونژ را وادار کردند قسم بخورد که این اکتشاف رافاش نخواهد کرد و مدت 15 سال آن را جزو اسرار نظامی مخفی کرده بودند. همچنین مونژ هندسه بی‌نهایت کوچکها را در فضای سه‌بعدی معمول کرد و پیشرفتهای زیادی به نظریة معادلات با مشتقات جزئی داد. این ریاضی‌دان بزرگ دربارة انحناء سطوح نیز کارهای مهمی دارد. 

ژان بابتیست فوریه که در زمان انقلاب معلم ریاضیات بود در مسأله انتشار حرارت روش بسیار بدیع و جالبی اختراع کرد. این روش که بعدها تمام مباحث فیزیک را تحت تأثیر خود قرار داد و یکی از مهمترین مباحث آنالیز ریاضی گردید عبارت بود از گسترش توابع به سری‌های مثلثاتی که آنها را سریهای فوریه نامیدند و مطالعة عمیق دربارة آنها هنوز ادامه دارد. 

تاریخ ریاضی 6

ریاضی‌دانان انگلیسی سنسن و استوارت ضمن اکتشافات خود مسائل مختلفی از هندسه را استادانه مورد مطالعه قرار دادند. همچنین بروک تایلور و کولین ماکلرین کوششهای رها شدة اسحاق نیوتن را ادامه دادند. تایلور باعث توسعة فوق‌العادة آنالیز ریاضی عناصر بی‌نهایت کوچک که توسط لایب نیتس عرضه شده بود گردید و ماکلرین روش او را اصلاح کرد. 

منجم انگلیسی هالی که در هندسه قدما نیز مطالعة بسیار می‌کرد آثار منلائوس و آپولونیوس را به چاپ رسانید و اولین راه حل مسألة یک مقطع مخروطی را با معلوم بودن سه نقطه ویک کانون آن به دست داد. 

آبراهام مواور پروتستان فرانسوی که به انگلستان تبعید شده بود یک قضیة اصلی و اساسی دربارة اعداد موهومی ابداع کرد. 

همچنین میش رول فرانسوی قضیه مهمی در جبر ابداع کرد و هموطن دیگر او آنتوان پاران هندسه تحلیلی دکارت را به فضای سه بعدی تعمیم داد. از جمله دانشمندانی که برای بسط کارهای لایب نیتس می‌کوشیدند می‌توان خانوادة برتونی را نام برد. این خانواده از اهالی آنورس بلژیک بودند که به یال از شهرهایآلمان فرار کرده بودند. 

ارشد ایشان ژاک اول حساب دیفرانسیل لایب نیتس را در دانشگاه بال تدریس می‌کرد. وی از جملة کسانی است که چگونگی محاسبة انتگرالها را تعلیم می‌داد. بعد از مرگ او برادرش ژان اول جانشین وی شد. 

دیگر لئونارداولر ریاضی‌دان بزرگ سوئیسی است که در 15 آوریل 1707م در شهر بال متولد شد و در 17 سپتامبر 1783م در روسیه درگذشت. 

در اواخر قرن هیجدهم و اوایل قرن نوزدهم کشور فرانسه پیشرو نهضت علمی اروپا بود و این پیشرفت را باید نتیجه انقلاب کبیر سال 1789م دانست که باعث تهییج حس ملی مردم شد و علم را لازمة زندگی قرارداد و به این ترتیب جنبش جدیدی در جستجوها و کشفیات علمی بوجود آورد. نفوذ آزادی خواهانة انقلاب در عین حال که زوائد خفه کننده علم را از آن دور کرد کشور فرانسه را نیز به مقام راهنمای علمی اروپا ارتقاء داد. 
ارتقاء به این مقام بواسطة وجود مردانی نظیر لاگرانژ، لاپلاس، لژاندر، مونژ، فوریه و غیره بود. عمومی شدن تحصیلات علمی و ترویج کامل آن بطور محسوسی جستجوها و کشفیات علمی را افزایش داد. به این ترتیب بهترین و مشهورترین دانشمندان فرانسه نخستین میوه‌های شیرین دوران انقلاب را می‌چیدند. 

لاگرانژ از جملة بزرگترین ریاضی‌دانان تمام ادوار تاریخ بشر است. وی در 19 سالگی حساب تغییرات را اختراع کرد که روش جدیدی در آنالیز است و به کمک آن خیلی سهلتر از حساب دیفرانسیل بعضی از مسائل مربوط به ماکزیمم و مینیمم را حل کرد. وی براساس کارهای دالامبر تمام متدهای مختلفی را که تا آنروز برای حل مسائل مکانیک مورد استفاده قرار می‌گرفت جمع نمود. «مکانیک تحلیلی» او که در سال 1788م عمومیت پیدا نمود بزرگترین شاهکار وی بشمار می‌آید. همچنین در سال 1797م تئوری توابع تحلیلی خود را نوشت که فجر دوران جدید را اعلام می‌کرد. دو سال بعد «حل معادلات عددی» را انتشار داد و قدرت خویش را در سیاحت راههای جدیدی که خود برای آنالیز باز کرده بود مضاعف ساخت. این دانشمند گرانقدر که ))ناپلئون او را «هرم مرتفع علوم ریاضی» می‌نامید در دهم آوریل 1813 در ««پاریس، شهری که انقلاب زمینه افتخار را برایش تدارک دیده بود زندگی را بدرود گفت. 

لاپلاس که در تدریس ریاضی دانشسرای عالی پاریس معاون لاگرانژ بود علاقه زیاد به علوم دقیقه داشت. وی با انتشار کتبی از قبیل «تئوری تحلیلی احتمالات» (1812) و «مطالعات فلسفی دربارة احتمالات» (1814) حساب احتمالات را تکمیل نمود و از سال 1799تا سال 1825 کتابی تحت عنوان «مکانیکآسمانی» در پنج جلد انتشار داد. 
گاسپارمونژ، این ریاضی‌دان انقلابی و نابغة دانشمند هنگامی که هنوز بیست سال نداشت شاخة جدید علم هندسه بنام «هندسه ترسیمی» را بوجود آورد. در این هندسه اشکال مجسم را به وسیلة دو تصویر آنها روی صفحات قائم و افقی نمایش می‌دهند و برای اینکار دو صفحة مزبور را همچون کتابی که روی میز بازمانده، باشد، بر روی یک صفحه تسطیح می‌‌نمایند. این طریقه که امروز مبنای همة ترسیمات ماشینها و معماری است نسبت به روشهای تجربی و مبهم قدیم آنقدر بزرگ و مهم بود که مونژ را وادار کردند قسم بخورد که این اکتشاف رافاش نخواهد کرد و مدت 15 سال آن را جزو اسرار نظامی مخفی کرده بودند. همچنین مونژ هندسه بی‌نهایت کوچکها را در فضای سه‌بعدی معمول کرد و پیشرفتهای زیادی به نظریة معادلات با مشتقات جزئی داد. این ریاضی‌دان بزرگ دربارة انحناء سطوح نیز کارهای مهمی دارد. 

ژان بابتیست فوریه که در زمان انقلاب معلم ریاضیات بود در مسأله انتشار حرارت روش بسیار بدیع و جالبی اختراع کرد. این روش که بعدها تمام مباحث فیزیک را تحت تأثیر خود قرار داد و یکی از مهمترین مباحث آنالیز ریاضی گردید عبارت بود از گسترش توابع به سری‌های مثلثاتی که آنها را سریهای فوریه نامیدند و مطالعة عمیق دربارة آنها هنوز ادامه دارد. 

تاریخ ریاضی 5

درایتالیا آثار کاوالیری فصل جدیدی در هندسه بوجود آورد. وی در سال 1629 ایده‌آلهای ارشمیدس را تحت عنوان «هندسه غیر قابل تقسیمها» دنبال نمود و در 1635 نیز کتابی به همین نام انتشار داد. طبق نظر او هریک از اجزاء مرتباً تقسیم بدو می‌شدند و بی‌نهایت کوچک می‌گردیدند. همچنین اولین جستجوهای مربوط بهحساب بی‌نهایت کوچکها از اوست. 

در نیمه دوم قرن هفدهم ریاضی بطور دقیق و کنجکاوانه‌ای دنبال شد. سه نابغه فناناپذیر این دوره یعنیاسحاق نیوتنانگلیسی، لایب نیتس آلمانی و هویگنسهلندی جهان علم را روشن کرده بودند. 

اسحاقاسحاق نیوتن روز چهارم ژانویه سال 1643 در وولسی تورپ واقع در ناحیه لینکولشایر متولد شد و در بیستم مارس 1827 در گذشت. وی در هیجده سالگی جزو شاگردان مجانی وارد دانشگاه کمبریج شد و در آنجا ابتدا آثار اقلیدس و سپس هندسه دکارت را مطالعه کرد. در سال 1673 با کتاب هویگنس بنام «درباره نوسان ساعتها» که برای اولین‌بار اصول مکانیک آسمانی را شامل بود آشنائی یافت. مسلماً این کتاب موجب تقویت افکار او درباره قانون جاذبه گردید و کم‌کم می‌خواست او را بستوه آورد. در این هنگام وی تصمیم گرفت افکاری را که تا آنروز در مغز خود محفوظ داشته بود روی کاغذ آورد و بنا بر این از سال 1684 به نوشتن کتاب «اصول» مشغول شد. وی تحت عنوان «حسابفلوکسیونها» روش نوینی برای پیشرفت حساب بی‌نهایتکوچکها ایجاد نمود که باعث ترقی و توسعه علم‌القوا یا دینامیک گردید. 
لایپ نیتس در سوم ژوئیه سال 1646 یعنی سه سال بعد از تولد اسحاق نیوتن در شهر لایپزیک آلمان چشم به دنیا گشود. وی درهمه بخشهای معارف بشری مطالعات عمیق کرد، و در همه آنها مطالب درجه اولی کشف نمود. ریاضیات، حقوق، مذهب، سیاست، تاریخ، ادبیات، منطق، مابعدالطبیعه و فلسفه هریک پس از دیگری توجه او را جلب کرد. در سال 1684 با انتشار مقاله‌ای درباره حساب عناصر بی‌نهایت کوچک انقلابی برپا کرد. وی در این مقاله یک منحنی را مرکب ازبی‌نهایت پاره‌خط راست که هریک بی‌نهایت کوچک بودند فرض کرده بود و اگر می‌خواست کمیتی مثل حرارت را مورد مطالعه قرار دهد که از مقداری معین تا مقداری دیگر تغییر می‌کرد چنین تصور می‌کرد که این تغییرات تشکیل یافته است از مجموع بی‌نهایت تغییرات کوچک، و این تغییرات جزئی را دیفرانسیل و مجموع آنها را انتگرال نامید. با کشف دیفرانسیل وسیله جدیدی برای تحقیق آنالیز بوجود آمد. ورود آنالیز عناصر بی‌نهایت کوچک در قلمرو علم همچون هجوم طوفان و یا موج مقاومت ناپذیری بود که به کلی دانش ریاضی را زیر و رو کرد و به آن صورت جدیدی بخشید. 

هویگنس در 14 ماه آوریل 1629در شهر لاهه متولد شد. وی در تکمیل دینامیک و مکانیک استدلالی با اسحاق نیوتن همکاری کرد و عملیات مختلف آنها باعث شد که ارزش واقعی حساب انتگرال در بسط و توسعه علوم دقیقه روشن گردد. همچنین هویگنس دست به اصلاح ساعت زد و به این منظور دنباله تجسساتگالیله را گرفت. 
در قرن هیجدهم دیگر تمام طوفانهای قرن هفدهم فرو نشست و تحولات این قرن عجیب به یک دوره آرامش مبدل گردید. تمام جهد و کوشش دانشمندان مصروف این می‌شد تا با وسایل جدید نتایج کشفیات اساسی متقدمین را توسعه دهند. 

در اوایل این قرن موارد استعمال حساب بی‌نهایت کوچک‌ها در منحنی ‌ها و رویه ها کشف گردید و همچنین حساب احتمالات تکمیل شد، باضافه کشفیات سرشار اسحاق نیوتن درباره مکانیک آسمانی که مدتی بدون انعکاس ماند مخصوصاً به کمک دانشمندان فرانسوی بسط داده شد. 

دالامبر فرانسوی آنالیز ریاضی را در مکانیک بکار برد و از روشهای آن استفاده کرد و احکامی را که تا آنزمان فقط جنبه استنتاجات هندسی داشت به معادلهگذارد ومبنای تمام این بنای عظیم فقط اصل ساده‌ای بود، دالامبر با خود گفته بود: وقتی که جسمی حرکت می‌کند دلیل برآنست که نیروئی بر آن وارد می‌شود، بنابراین حتماً مابین این نیروها و تغییراتی که در حرکت ایجاد می‌شود تساوی یا تعادل وجود دارد، به عبارت دیگر گوئی که جسم با وجود حرکت در حال تعادل است. 

کلرو رقیب او در 18 سالگی کتابی بنام «تفحصات درباره منحنی‌های دوانحنائی» انتشار داد و در مدت شانزده سال رساله‌ای تهیه و به آکادمی علوم تقدیم نمود که شامل مطالب جالب توجهی مخصوصاً در اطراف مکانیک آسمانی و هندسهبی‌نهایتکوچکها بود. 
در اواسط این قرن هویگنس و نیوتون درباره معماری نور به موشکافی پرداختند. 

اسحاق نیوتن در ضمن آزمایشهای خود به این نتیجه رسید که نور سفید تمام انوار مختلف را شامل است وبرای امتحان صحت این موضوع اشعات رنگین مختلف را با هم مخلوط کرد و از مجموعه آنها نور سفید بدست آورد و برای اینکه استدلال خود را قوی سازد دسته‌ای از نور سفید حاصل را روی تیغه باریکی انداخت و یک سلسله حلقه‌های رنگین بدست آورد که نام حلقه‌های اسحاق نیوتن روی آنها مانده است. 

تاریخ ریاضی 4

قرن هفدهم در تاریخ ریاضیات قرنی عجیب و معجزه‌آسا است. از فعالترین دانشمندان این قرن کشیشی پاریسی بود بنام مارن مرسن که می‌توان وی را گرانبهاترین قاصد علمی جهان دانست. این شخص اطلاعات لازم را به دانشمندان می‌داد و به ملاقات ایشان می‌رفت و هر هفته آنان را در کلبه خود جمع می‌کرد و وسیله تبادل افکارشان را فراهم می‌ساخت. و حتی برای اینکه بتواند آثار علمای مزبور را منتشر کند، شخصاً چاپخانه‌ای تهیه کرد و رابط مابینگالیله،دکارت،فرما و دیگران شد. به مدد همین اجتماعات بود که کولیر توانست آکادمی علوم پاریس را در سال 1666 تأسیس کند. 

در سال 1609گالیله ریاضیات و نجوم را در دانشگاه پادوا در ایتالیا تدریس می‌کرد. وی یکی از واضعین مکتب تجربی است. 

مخالفت او با اصول ارسطو اشکالات بزرگی برای وی تولید کرد و می‌دانیم که در سال 1663 وی در سن هفتاد سالگی در برابر دادگاه تفتیش عقاید حاضر شد و چون بعد از کوپرینک اول کسی بود که حرکت زمین را به دور خورشید تأیید کرد محکوم گردید. وی قانون سقوط اجسام را به دست آورد و مفهوم شتاب را تعریف کرد و آن عبارت است از ازدیاد سرعت در هر ثانیه و همچنین قوانین حرکت گلوله روی سطح افقی و سطح شیبدار نیز مطالعه نمود. گالیله موفق به اختراع دوربینی گردید که هنوز هم نام او را همراه دارد. 

در همان اوقات که گالیله نخستین دوربین خود را به سوی آسمان متوجه نمود در 31 مارس 1596در تورن فرانسه رنه‌ دکارت بدنیا آمد.

وی به زودی با مارن مرسسن که یکی از همکلاساش بود دوست شد و پس از یکدوره فعالیتهای نظامی و مسافرتهای متعدد به پاریس و هلنددر سال 1650 درسوئد زندگی را بدرود گفت. دکارت در میان همه کارهایش از عرضه نمودن افکار فلسفی خود در روابط بین انسان و طبیعت غفلت ننمود. کتاب وی به نام دیوپتریک که موضوع آن مسائل مربوط به مبحث نور بویژه انکسار می‌باشد جزو برجسته‌ترین آثار اوست. 

نام ریاضی‌دان بزرگ سوئیسی «پول گولدن» را نیز باید با نهایت افتخار ذکر کرد. شهرت وی بخصوص بواسطه قضایای مربوط به اجسام دوار است که نام او را دارا می‌باشد و در کتابی به نام «مرکز ثقل» ذکر شده است. 

دیگر از دانشمندان برجسته قرن هفدهم پی‌یردوفرما ریاضی‌دان بزرگ فرانسوی است که در سال 1601 در بومون دوکانی متولد شد و در 1665 در کاستر درگذشت. 

وی مطالعات عمیق و جالبی درباره ریاضیات مطلق و نور کرد. یکی از برجسته‌ترین آثار او «تئوری اعداد» است که وی کاملاً بوجود آورنده آن می‌باشد. درهندسه، فرما در همان زمان دکارت و مستقل از او مبانی هندسه تحلیلی را کشف کرد، گذشته از آن وی از دکارت نیز تجاوز نمود و اولین کسی است که این علم را در مورد فضای سه بعدی بکار برد.

تجسمات رفیع و استادانه او در حساب عالی است تا جائی که استدلال بعضی از قضایای او فقط یک قرن بعد بوسیله کسانی از قبیل اولرولاگرانژ باز یافته شد و یکی از قضایای او را حتی امروز نیز نتوانسته‌اند ثابت کنند. 

ریاضی‌دان بزرگ دیگری که در این قرن به خوبی درخشید ژیرار دزارک فرانسوی می‌باشد که بیشتر به واسطه کارهای درخشانش در هنر معماری شهرت یافته بود. دزارک در هندسه آثاری ارزشمند دارد ومی‌توان گفت که وی راه به سوی آنچه که «هندسه جدید» نامیده می‌شود بازکرد. او نخستین کسی است که درباره اشکال هندسی تنها به روابط متری مابین کمیات اکتفا نکرد و خواص تصویری را نیز در نظر گرفت و هندسه وضعی را پدید آورد. 

و بالاخره ریاضی‌دان دیگر فرانسوی یعنی روبروال را باید نام ببریم که بواسطه ترازوی مشهوری که نام او را همراه دارد همه جا معروف است. 

در اواسط قرن هفدهم کم‌کم مقدمات اولیه آنالیز عناصر بینهایت کوچک در تاریکی و ابهام بوجود آمد و رفته‌رفته سر و صدای آن به گوش مردم رسید و فکرها را بدان‌ سوی متوجه ساخت. این نکته را نیز بایستی متذکر شد که مرکز ثقل علمی اروپا تغییر کرده بود:ایتالیا که مدتهای مدید درخشیده بود کم‌کم به خاموشی می‌گرائید. آلمان بلافاصله بعد از کپلر دچار جنگهای سی ساله شد و دیگر تا هنگام درخشیدن لایب نیتس گفتگوئی از آن در میان نبود.انگلستاندر انتظار پیدایش موجود مافوق بشری همچون نیوتن بود و کشور هلند به انتظار هویگنس تنها به تربیت مردان علاقمند و متبحر اکتفا می‌کرد. در این احوال کشور فرانسه اولین مقام علمی را اشغال کرده بود. کدام کشور می‌توانست مدعی وجود کسانی همچون دکارت،فرما، دزارک ، روبروال و پاسکال باشد. 

بدون شک پاسکال همراه با دکارت و فرما یکی از سه ریاضی‌دان بزرگ نیمه اول قرن هفدهم بود و نیز می‌توان ارزش او را در علم فیزیک برابر گالیله دانست. او هنگامی که هنوز آنقدر کم سن بود که خط راست را میله و دایره را گردی می‌نامید بدون آنکه هرگز کتاب هندسه‌‌ای دیده باشد بسیاری از احکام سی‌ و دو قضیه اولیه اقلیدس را خود به خود کشف کرده بود. درسن شانزده سالگی کتابی درباره مقاطع مخروطی نوشت و هنوز یکی از قضایای آن به نام او مشهور است، همچنین در هیجده سالگی یعنی در سال 1641 نخستین ماشینحسابرا اختراع کرد که هنوز در کنسرواتوار صنایع و مشاغل محفوظ است. 

تاریخ ریاضی 3

برجسته‌ترین نامهائی که در این دوره ملاحظه می‌نمائیم، در مرحله اول لئوناردیوناکسی (1220_1170) ریاضی‌دان ایتالیائی است. وی که مدتهادر مشرق زمین اقامت کرده بود، آثار برخی از دانشمندان اسلامی را از آنجا به ارمغان آورد. همچنین برای اولین بار علم جبررا در هندسهمورد استفاده قرار داد. دیگر نیکلاارسم فرانسوی می‌باشد که باید او را پیشقدم هندسه تحلیلیدانست. وی اولین کسی است که نه تنها مجذور و مکعب و توانهای چهارم و پنجم اعدادرا در نظر گرفت بلکه اعدادرا بقوای کسری از قبیل یک دوم و دو سوم و یک هفتم و غیره نیز رسانید و به عبارت دیگر وانهای کسری اعدادرا بدست آورد. 

در قرن پانزدهم ترقی فنی، پیشرفت علوم نظری را تحت‌الشعاع خود را قرار داد. اختراع چاپ در سال 1440 بوسیله گوتنبرگ سبب آن شد که تعداد کتاب در جهان با سرعتی صاعقه‌آسا رو به افزایش نهد و زمینه برای مطالعة منابع علمی گذشته که کم و بیش فراموش شده بود مهیا گردد. 

در قرون پانزدهم و شانزدهم دانشمندان ایتالیائی و شاگردان آلمانی آنها در حساب عددی جبر و مکانیک ترقیات شایان نمودند. تارتاگلیا و کاردان در ایتالیا سنن ریاضی‌دانان عهد عتیق را از سر گرفتند. 

رژیمن تانسوس آلمانی که از جمله بزرگترین منجمان این دوره است کتاب قدیمی‌ترین کتاب جالبی دربارة مثلثات نگاشت. این کتاب قدیمی‌ترین کتاب کاملمثلثات است که در مغرب‌زمین انتشار یافت. همچنین ژان‌ورتر از اهالی نورنبرگ آلمان که به هندسه قدما به خوبی مسلط بود راه‌حل عالمانه و بدیعی از یکی از مسائل ارشمیدس که موضوع آن تقسیم کره به کمک صفحه به نسبت معلومی بود بدست داد. وی در تمام قسمتهای ریاضی بخصوص مثلثات تألیفات بسیار دارد. 

ریاضی‌دانان فرانسوی در اوایل قرن شانزدهم عموماً مادون ایتالیائی‌ها بودند. مشهورترین آنها یکی اورنس فین است که در هندسه بویژه در موردتربیع دایره اکتشافات تازه‌ای کرد. دیگر پی‌یرلارامه موسوم به راموس است که بیشتر از لحاظ آثار فلسفی خود شهرت یافت. با وجود این به ریاضیات نیز علاقه فراوان نشان داد تا جائی که کتابی در ستایش ریاضیات و کتاب دیگری در مقدمات حسابو هندسهتألیف کرد. بالاخره کاندال را باید نام ببریم که در مطالعات مخصوص به چند وجهی‌ها تخصص یافت. 

در اواخر قرن شانزدهم در فرانسه شخصی بنام فرانسواویت (1603_1540م) به پیشرفت علوم ریاضی خدمات ارزنده‌ای نمود. وی یکی از واضعین بزرگ علم جبر و مقابلة جدید و در عین حال هندسه ‌دان قابلی بود. مثلثات جدید فقط متکی‌بر زحمات اوست. هر چند بسیاری از قدما و دانشمندان جدید باری پایه‌گذاری اساس آن زحماتی کشیده‌اند، اما ترقی آن کاملاً مرهون وی است. او اولین کسی است که مثلث کروی را با معلوم بودن سه ضلع آن حل کرد و در عین حال نخستین ریاضی‌دانی است که برای حل مسأله ترسیم دایره مماس بر سه دایرة دیگر راه‌حل هندسی بدست داد و ریشه‌های معادلة درجه چهارم را ساخت. 

کشور دانش خیز هلند نیز در اواخر این قرن مهد آزادی و یکی از مراکز مهم علمی جهان شده بود. آدرین‌رومن و سپس آدرین متیوس مقدار تقریبی عدد پی را محاسبه کردند و یکی دیگر از هموطنان آنان بنام وان سولن تا 30 رقم اعشار آن را بدست آورد. 

همچنین انگلستان که در آغاز قرن شانزدهم برای پیشرفت علم جبرکوشیده بود اینک با کشف لگاریتم بوسیله جان نپر تئوری فن محاسبة عددی را یک قدم قطعی بجلو برد. 

کوپرنیک(1543_1473) منجم بزرگ لهستانی در اواسط قرن شانزدهم در کتاب مشهور خود بنام «دربارة دوران اجسام آسمانی» که همزمان با مرگش انتشار یافت تصویری از منظومة شمسی بدست داد که امروز هر دانش آموزی با آن آشناست: 

1. مرکز منظومة شمسی، خورشید است نه زمین.
2. در حالی که ماه بگرد زمین می‌چرخد، سیارات دیگر، همراه با خود زمین بگرد خورشید می‌چرخند.
3. زمین در هر 24 ساعت یکبار حول محور خود می‌چرخد نه کرة ستاره‌های ثابت.

پس از مرگ کوپرنیک در قلب اروپا، در کشور دانمارک مردی بنام تیکو براهه متولد شد که کارهای او پایه و اساس انقلاب قریب الوقوع نجوم گردید. وی نشان داد که حرکت سیارات کاملاً با نمایش و تصویر دایره‌های هم‌مرکز وفق نمی‌دهد. از آنجا که تیکو براهه بیشتر به رصدهای مستقیم و اندازه‌گیری سرگرم بود، هیچ کوشش برای تجزیه و تحلیل نتایج خود انجام نداد و این کار به یوهان کپلر که در سال آخر زندگی تیکو براهه دستیار وی بود محول گشت. 

پس از سال‌ها کار، وی به نخستین کشف مهم خود رسید و چنین یافت که سیارات در حرکت خود به گرد خورشید یک مدار کاملاً دایره شکل نمی‌پیمایند بلکه همة آنها بر روی بیضی‌هایی حرکت می‌کنند که خورشید در یکی از دو کانون آنها قرار دارد. 
همچنین وی در نخستین‌بار اصل ماند (اصل جبر) را در مکانیک حدس زد که بعدها بوسیلة گالیله صورت تحقیق یافت. 

---

 

تاریخ ریاضی 2

در سال 47ق.م که ژول سزار نیروی دریایی مصررا آتش زد، در کتابخانه بزرگ اسکندریه نیز حریقی ایجاد شد که قسمت اعظم آنرا نابود ساخت. بالاخره در سال 30ق.م به هنگام امپراطوری ملکه کلئوپاترا کشور مصریکی از ایالات امپراطوری روم شد. 

در این دوره کوتاه از کشفیات جدید خبری نبود و دانشمندان متوسطی نظیر بطلیموس، منلائوس و باپوس نیز که ظهور کردند تنها به تعلیم و انتشار آثار قدما اکتفا نمودند. 

بطلیموس که به احتمال قوی با امپراطوران بطالسه هیچگونه ارتباطی ندارددر تعقیب افکار هیپارک کوشش بسیار کرد.

کتاب مشهور او به نام اصلی«ترکیب ریاضی» شامل یک دستگاه هیأت بیان حرکت دورانی اجسام سماوی و یکدورة کامل مثلثاتکروی و مستقیم‌الخط و توضیح و محاسبة نمودهای حرکت بومی است. این کتاب را درسال 827 از یونانی به عربی ترجمه کردند ونام آنرا مجسطی یعنی «بسیار بزرگ» نهادند و از آن پس به همین نام باقی ماند. 

منلائوس که در اواخر قرن اول میلادی در اسکندریه می‌زیست به امر امپراطور دومی سین کتابی تألیف کرد که قضیه معروف منلائوس دربارة چهارضلعی محاطی در آن ذکر شده است. 

پاپوس که دورة زندگانیش در حدود 350 میلادی بوده است دارای کتابی است به نام «مجموعة ریاضیات». هدف وی از تدوین این کتاب آن بوده است که به اختصار نتایجی را که از بدو پیدایش علم هندسه تا آن زمان حاصل شده بود برای خود بیان نماید. با این حال در موارد بسیار احکام جدید و جالبی که از اکتشافات خودش می‌بود و بر آن افزود. مسألة معروف پاپوس که در همه کتابهای هندسة ما وجود دارد و قضیه بسیار مهم تعیین مرکز نقل سطوح و احجام که برخلاف واقع آنرا به گولدن نسبت داده‌اند. 

در این احوال هندوستان به منزلة یک مرکز جدید روشنفکری توسعه می‌یافت و چنین به نظر می‌رسید که علم بدانجا فرار کرده و یا به عبارت بهتر فقط آنجا را مقام خود ساخته است. زیرا سابق براین در زمان یونانی‌ها نیز در آنجا وجود داشته است. علوم هندی بیش از علوم تمام ممالک دیگر که تاکنون از ایشان سخن گفتیم در خدمت مذهب بود وشامل بعضی مقدمات علم طب یعنی همانقدر که برای ساختن مشروبات مقدس کفایت می‌کردو مختصری از علوم نجومیعنی درست همان اندازه که برای تشکیل تقاویم مذهبی مورد نیاز است و اندکی هندسه، مرکب از بعضی طرق عملی که برای ساختن مسجد و محراب لازم است بیش نبود. 


در نخستین قرون تاریخ چهار ریاضی‌دان مشهور در این کشور وجود داشت که عبارت بودند از:

آپاستامبا(قرن پنجم)، آریاب هاتا (قرن ششم)، براهماگوپتا (قرن هفتم) و بهاسکارا (قرن نهم) که در کتب ایشان بخصوص قواعد تناسب ساده و ربح مرکب مشاهده می‌شود. محاسبات در این کتابها جنبه شاعرانه داشت و حتی نام علم حسابرا «لیلاواتی» گذارده بودندکه معنی دلبری و افسونگری دارد! با شروع قرن دهم پیشرفت کشفیات ریاضی در هندوستاننیز متوقف گردید و مشعل فروزان علم بدست اعراب افتاد. 

در سال 622م که حضرت محمدصلی الله علیه و آله وسلماز مکه هجرت فرمود در واقع آغاز شگفتی تمدن اسلام بود. اعراب که جنبش شدید خود را از سدة هفتم آغاز کرده بودند پس از رحلت پیغمبر اسلام در 632 به توسعه سرزمینهای خود پرداختند و بزودی تمام ممالک آفریقائی ساحل مدیترانه را متصرف شدند و این توسعه‌طلبی ایشان را در اروپاتا اسپانیاو در آسیاتا هندوستانکشانید و در نتیجه تماس با کشورهای مغلوب که مردم آنها غالباً دارای تمدن عالی بودند ذوق شدیدی به آموختن در ایشان بوجود آمد. لذا با سهولت و چالاکی فرهنگ ممالک دست نشانده را پذیرفتند. 

در زمان مامون خلیفه عباسی تمدن اسلام بحد اعتلای خود رسید بطوری که از اواسط قرن هشتم تا اواخر قرن یازدهم زبان عربی علمی بین‌المللی گردید. 

از ریاضی‌دانان بزرگ اسلامی یکی خوارزمیمی‌باشد که در سال 820 به هنگام خلافت مأمون در بغدادکتاب مشهورالجبر و المقابله را نگاشت. 

وی در این کتاب بدون آنکه از حروف و علامات استفاده کند، حل معادلة درجه اولرا بدو طریقی که ما امروزه جمع جبری جمل و نقل آنها از یکطرف بطرف دیگر می‌نامیم، انجام داده است. 

دیگر ابوالوفا (998_ 938) است که جداول مثلثاتی ذیقیمتی پدید آورده و بالاخره محمدبن هیثم(1039_ 965) معروف به الحسن را باید نام بردکه صاحب تألیفات بسیاری در ریاضیات و نجوماست. 

قرون وسطی از قرن پنجم تا قرن دوازدهم یکی از دردناکترین ادوار تاریخی اروپاست. عامة مردم در منتهای فلاکت و بدبختی بسر می‌بردند. جنگهای متوالی و قتل و غارت و از طرف دیگر نفوذ کلیسا آنچنان فکر مردم را به خود مشغول داشته بود که هیچ کس فرصت آنرا نمی‌یافت که در فکر علم باشد، آری مدت هفت قرن تمام اروپا محکوم به این بود که بار گران جهل و نادانی را بر دوش کشد. در اواخر قرن دهم ژربر فرانسوی کوشید تا به کمک مطالبی که در چند مدرسه از کلیساهای بزرگ اروپا آموخته بود پیشرفت جدیدی به علوم مقدماتی بدهد. وی دستگاه مخصوص را که برای محاسبه بکار می‌رفت اصلاح کرد. این دستگاه همان چرتکه بود. 

تاریخ ریاضی 1

انسان اولیه نسبت به اعداد بیگانه بود و شمارش اشیاء اطراف خود را به حسب غریزه یعنی همانطور که مثلاً مرغ خانگی تعداد جوجه‌هایش را می‌داند انجام می‌داد. اما بزودی مجبور شد وسیلة شمارش دقیقتری بوجود آورد. لذا، به کمک انگشتان دست دستگاه شماری پدید آورد که مبنای آن 60 بود. این دستگاه شمار که بسیار پیچیده می‌باشد قدیمی‌ترین دستگاه شماری است که آثاری از آن در کهن‌ترین مدارک موجود یعنی نوشته‌های سومری مشاهده می‌شود.

سومریها که تمدنشان مربوط به حدود هزار سال قبل از میلاد مسیح است در جنوب بین‌النهرین، یعنی ناحیه بین دو رود دجله و فرات ساکن بودند. آنها در حدود 2500 سال قبل از میلاد با امپراطوری سامی، عکاد متحد شدند و امپراطوری و تمدن آشوری را پدید آوردند. 

در این موقع مصریها نیز در سواحل سفلای رود نیل تمدنی درخشان پدید آورده بودند. طغیان رود نیل هر سال حدود و ثغور زمینهای زراعتی این قوم را محو می‌کرد. احتیاج به تقسیم مجدد این اراضی موجب رهبری آنها به اولین احکام سادة هندسی گردید. همچنین مبادلات تجارتی و تعیین مقدار باج و خراج سالیانه آنها را وادار به توسعه علم حساب نمود این اطلاعات همگی از روی پاپیروسها و الواحی است که در نتیجه حفاریها بدست آمده و به خط هیروگلیفی می‌باشد. قدیمی‌ترین آنها که مربوط به 1800 سال قبل از میلاد است شامل چند رساله دربارة علم حساب و مسائل حساب مقدماتی می‌باشد، از آن جمله رسالة پاپیروس آهس است که درسال 1868 توسط ایسنلر مصرشناس مشهور ترجمه شد. سایر تمدنهای شرقی نظیر چینی و هندی در ترویج دانش نقش مؤثری نداشته‌اند و جز برخی نتایج پراکنده که در زیر فشار مفاهیم ماوراءالطبیعه خرد شده است چیزی از آنان در دست نیست. 

قریب هزار سال پس از نابودی فرهنگ قدیم مصر و محو تمدن آَشور، یونانیان از روی مقدمات پراکنده و بی‌شکل آنها علمی پدید آوردند که در واقع به عالیترین وجه مرتب و منظم گردیده و عقل و منطق را کاملاً اقناع می‌نمود. 

نخستین دانشمند معروف یونانی طالس ملطلی (639_548ق.م) است که در پیدایش علوم نقش مهمی بعهده داشته و می‌توان ویرا موجد علوم فیزیک ، نجومو هندسه «تشابه» به او کاملاً بی‌اساس است.

در اوایل قرن ششم ق.م. فیثاغورث (572_500 قبل از میلاد) از اهالی ساموس یونان کم‌کم ریاضیات را بر پایه و اساسی قرار داد و به ایجاد مکتب فلسفی خویش همت گماشت. فیثاغورثیان عدد را بخاطر هم‌آهنگی و نظمی که دارد اساس ومبدأ همه چیز می‌پنداشتند و بر این عقیده بودند که تمام مفاهیم را به کمک آن می‌توان بیان نمود. 

پس از فیثاغورث باید از زنون فیلسوف و ریاضیدان یونانی که در 490ق.م در ایلیا متولد شده است نام ببریم. 

در اوایل نیمه دوم قرن پنجم بقراط از اهالی کیوس فضاهایی متفرق آن زمان را گردآوری کرد و در حقیقت همین قضایا است که مبانی هندسة جدید ما را تشکیل می‌دهند. 

در قرن چهارم قبل از میلاد افلاطون در باغ آکادموس در آتن مکتبی ایجاد کرد که نه قرن بعداز او نیز همچنان برپا ماند. وی ریاضیات مخصوصاً هندسه را بسیار عزیز می‌داشت، تا جائی که بر سردر مکتب خود این جمله را حک کرده بود: «هرکس هندسه نمی‌داند به اینجا قدم نگذارد». این فیلسوف بزرگ به تکمیل منطق که رکن اساسی ریاضیات است همت گماشت و چندی بعد منجم و ریاضیدان معاصر وی ادوکس با ایجاد تئوری نسبت‌ها نشان داد که کمیات اندازه نگرفتنی که تا آن زمان در مسیر علوم ریاضی گودالی حفر کرده بود هیچ چیز غیر عادی ندارد و می‌توان مانند سایر اعداد قواعد حساب را در مورد آنها بکار برد. 

در این احوال اسکندر کشورها را یکی پس از دیگری فتح می‌کرد و هرجا را که بر روی آن انگشت می‌نهاد مرکزی از برای پیشرفت تمدن یونانی می‌شد. 

پس از مرگ این فاتح مقتدر در 323ق.م و تقسیم امپراطوری عظیم او، مصر بدست بطلیموس افتاد و امپراطوری بطالسه را تشکیل داد. بطالسه که اسکندریه را به پایتختی برگزیده بودند تمام دانشمندان را بدانجا پذیرفتند و همین دانشمندان در صدد ایجادکتابخانة بزرگی در این شهر ساحلی برآمدند و به توسعه و تکمیل آن همت گماشتند. 

اکنون به زمانی رسیده‌ایم که بایستی آنرا عصر طلائی ریاضیات یونان نامید. اهمیت فوق‌العاده این دوره به سبب ظهور سه عالم بزرگ ریاضی یعنی اقلیدس ،ارشمیدس و آپولونیوس است که هم در دوران خود و هم برای قرون بعد از خویش شهرتی عالمگیر کسب نمودند. 

در قرن دوم ق.م نام تنها ریاضیدانی که بیش از همه تجلی داشت ابرخس یا هیپارک بود. این ریاضیدان و منجم بزرگ که بین سالهای 161تا 126ق.م در رودس متولد شد گامهای بلند و استادانه‌ای در علم نجوم برداشت و مثلثات را نیز اختراع کرد.

هیپارک نخستین کسی بود که تقسیم‌بندی معمولی بابلی‌ها را برای پیرامون دایره پذیرفت. به این معنی که دایره را به 360 درجه و درجه را به 60 دقیقه و دقیقه را نیز به 60 قسمت برابر تقسیم نمود و جدولی تابع شعاع دایره بدست آورد که وترهای بعضی از قوسها را می‌داد و این قدیمی‌ترین جدول مثلثاتی است که تاکنون شناخته شده است. 

---

اتحاد

• اتحاد
• مقدمه و معرفی
• اتحادهای مهم جبری
  • اتحاد مربع مجموع دو جمله
  • اتحاد مربع تفاضل دو جمله
  • اتحاد مکعب مجموع دو جمله
  • اتحاد بسط دو جمله ای نیوتن
  • اتحاد مربع سه جمله
  • تعمیم اتحاد مربع چند جمله
  • اتحاد مزدوج
  • اتحاد جمله مشترک
  • تعمیم اتحاد جمله مشترک
  • اتحاد مجموع مکعبات دو جمله(اتحاد چاق و لاغر)
  • تعمیم اتحاد مجموع مکعبات دو جمله(اتحاد چاق و لاغر)
  • اتحاد تفاضل مکعبات دو جمله(اتحاد چاق و لاغر)
  • تعمیم اتحاد تفاضل مکعبات دو جمله(اتحاد چاق و لاغر)
  • اتحاد اویلر
  • اتحاد لاگرانژ
• همچنین ببینید

مقدمه و معرفی

---

در ریاضیات اتحادها تساوی هایی هستند که به ازای هر مقدار عددی از دامنه خود که بجای متغییرهایشان قرار دهیم همواره برقرار باشند. به عنوان مثال تساوی برای هر x عضو دامنه برقرار است. لذا این عبارت جبری یک اتحاد است، اما تساوی فقط برای x=1 برقرار است. پس این عبارت یک اتحاد نمی باشد. در واقع در مورد یک اتحاد در اصل به یک تساوی بدیهی چون 0=0 می رسیم. 
به عنوان مثال در اتحاد مثال زده شده دو طرف ساده شده و تساوی 0=0 حاصل می شود. 
به این ترتیب تفاوت میان یک اتحاد جبری و یک معادله جبری در این است که اتحاد جبری به ازای همه مقادیر دامنه برقرار است در صورتی که یک معادله جبری به ازای تعداد محدودی از اعضای دامنه(مجموعه جواب معادله) برقرار است. 
عبارات زیر نمونه ای از اتحاد است: 

اتحادهای مهم جبری

---

در میان اتحادهای جبری، برخی از اتحادها بسیار مهم و کاربردی می باشند و در حل معادلات، محاسبات جبری، تجزیه عبارت جبری و... بسیار کاربرد دارند. از این رو دانستن و به کاربردن آنها از اهمیت خاصی برخوردار است. در این قسمت به بررسی این اتحادهای مهم می پردازیم. 

اتحاد مربع مجموع دو جمله

---

مثال:

اتحاد مربع تفاضل دو جمله

---

مثال:

اتحاد مکعب مجموع دو جمله

---

مثال:

اتحاد بسط دو جمله ای نیوتن

در دو اتحاد قبل مشاهدی کردید که عبارت مجموع با تفاضل دو جمله چون (a+b)،(a-b) به توان های دو و سه رسیدند. حال این اتحاد برای توانهای طبیعی n هم قابل تعمیم است و به آن اتحاد بسط دو جمله ای نیوتن می گویند. 

---

مثال:

اتحاد مربع سه جمله

---

مثال:

تعمیم اتحاد مربع چند جمله

---

مثال:

اتحاد مزدوج

---

مثال:

• لازم به توضیح است اگر داشته باشیم a+b آنگاه عبارت a-b را مزدوج عبارت اول یعنی a+b می گویند.

اتحاد جمله مشترک

---

مثال:

تعمیم اتحاد جمله مشترک

• این روال به همین ترتیب برای حالات دیگر هم برقرار است.

---

مثال:

اتحاد مجموع مکعبات دو جمله(اتحاد چاق و لاغر)

---

مثال:

تعمیم اتحاد مجموع مکعبات دو جمله(اتحاد چاق و لاغر)

پس می توان نتیجه زیر را بیان کرد: 

• لازم به توضیح است که این اتحاد فقط برای حالتی برقرار ست که توان n عدد طبیعی فرد باشد.

---

مثال:

اتحاد تفاضل مکعبات دو جمله(اتحاد چاق و لاغر)

---

مثال:

تعمیم اتحاد تفاضل مکعبات دو جمله(اتحاد چاق و لاغر)

پس می توان نتیجه زیر را بیان کرد: 

• لازم به توضیح است این این اتحاد برای هر عدد طبیعی n برقرار است.

---

مثال:

اتحاد اویلر

• برهان:

• صورتی دیگر از اتحاد اویلر:

• برهان:

• نتایج اتحاد اویلر:
  • اگر a+b+c=0 آنگاه 
  • اگر a=b=c آنگاه 

---

مثال:

همچنین اگر  باشد آنگاه داریم:

اتحاد لاگرانژ

---

مثال:

 

12اردیبهشت روز معلم

 

دوازدهم اردیبهشت، روز بزرگداشت مقام معلم است. وجه تسمیه این روز، به رویدادى بازمى گردد که در نخستین بهار پس از به بار نشستن انقلاب اسلامى به وقوع پیوست؛ شهادت معلم بزرگ، استاد مرتضى مطهرى. دو سال پس از این حادثه، وزیر آموزش و پرورش وقت، روز شهادت استاد مطهرى را روز معلم و هفته 12 تا 19 اردیبهشت را به عنوان هفته معلم، به جامعه معرفى کرد.

اما رویداد دیگرى نیز در کوران سال هاى دیکتاتورى رژیم پهلوى رخ داده بود که معمولاً در بزرگداشت دوازده اردیبهشت، کمتر به آن اشاره مى شود.

در 12 اردیبهشت سال 1340، گروهى از معلمان تهرانى و شهرستانى، دست از کار کشیدند و در باشگاه مهرگان تهران اجتماع کردند و به طور جمعى، عازم وزارت فرهنگ شدند.

در جریان این تجمع و در جریان فعل و انفعالاتى که رخ داد، دکتر ابوالحسن خانعلى، سخنران مراسم به قتل رسید و شمارى از معلمان و دانش آموزان هم مجروح شدند و معلمان که قبلاً فقط خواستار افزایش حقوق بودند، درخواست هاى صنفى دیگرى را هم به تقاضاهاى خود افزودند.

آنان خواهان سقوط دولت شریف امامى، اعدام قاتل دکتر خانعلى، رفع اهانت از فرهنگیان و تغییر سطح حقوق معلمان و نیز نام گذارى روز دوازده اردیبهشت به عنوان روز معلم بودند.

تعلیم و تعلم، از شئون الهى است. معلم ایمان را به بشر مى آموزد و آن را بر لوح جان و ضمیرهاى پاک، حک مى کند و سیاهى جهل را از دل ها مى زداید. دغدغه معلم، همیشه این است که حیات بشر بر مدار ارزش ها و کرامت هاى انسانى بچرخد.

والاترین رابطه انسانى، رابطه بین معلم و شاگرد است و بهترین نوع این رابطه، بر مبناى ادب و حرمت استوار است. معلم به شاگرد خویش، با چشم مهر و رحمت و حرمت مى نگرد و در کمال صداقت، از بهره فراوان علم خویش، او را بهره مند مى سازد و شاگرد، با همه فروتنى و احترام، مى کوشد تا تمام آموزه هاى مکتب معلم را به بهترین شیوه، فرا گیرد و مطیع و فرمانبردار باشد.

«رب» و «معلم»، دو نام از نام هاى شریف خداوند هستند. «رب»، از «تربیت» گرفته شده و «رب العالمین» یعنى تربیت کننده همه عالم. خداى بزرگ، نخستین معلم انسان است و در قرآن مجید بارها بر این مورد تصریح دارد.

پیام آوران الهى نیز وظیفه خطیر تعلیم و تربیت انسان ها را بر دوش داشته اند و معلمان رنج دیده تاریخند. در فرهنگ اسلام، با تعابیر زیبایى از مقام معلم و مربى، تمجید شده است.

10ردیبهشت روز ملی خلیج فارس

 

 

خلیج فارس (یا شاخاب پارس) آبراهی است که در امتداد دریای عمان و در میان ایران و شبه جزیره عربستان قرار دارد. مساحت آن ۲۳۷٬۴۷۳ کیلومتر مربع است، و پس از خلیج مکزیک و خلیج هادسون سومین خلیج بزرگ جهان بشمار می‌آید.

 خلیج فارس از شرق از طریق تنگه هرمز و دریای عمان به اقیانوس هند و دریای عرب راه دارد، و از غرب به دلتای رودخانه اروندرود، که حاصل پیوند دو رودخانهٔ دجله و فرات و پیوستن رود کارون به آن است، ختم می‌شود. کشورهای ایران، عمان، عراق، عربستان سعودی، کویت، امارات متحده عربی، قطر و بحرین در کناره خلیج فارس هستند. در این میان سواحل شمالی خلیج‌فارس تماماً در جغرافیای سیاسی ایران قرار دارند. به سبب وجود منابع سرشار نفت و گاز در خلیج فارس و سواحل آن، این آبراهه در سطح بین‌المللی، منطقه‌ای مهم و راهبردی بشمار می‌آید.

نام تاریخی این خلیج، در زبان‌های گوناگون، ترجمه عبارت «خلیج فارس» یا «دریای پارس» بوده‌است. همچنین در تمام سازمان‌های بین‌المللی نام رسمی این خلیج، «خلیج فارس» است اما برخی از کشورهای عربی آن را خلیج عربی یا به سادگی، خلیج می‌نامند. سازمان آب‌نگاری بین‌المللی از نام «خلیج ایران» برای این خلیج استفاده می‌کند.

تاریخچه پیدایش خلیج فارس

زمین شناسان معتقدند که در حدود پانصدهزار سال پیش، صورت نخستین خلیج فارس در کنار دشت‌های جنوبی ایران تشکیل شد و به مرور زمان، بر اثر تغییر و تحول در ساختار درونی و بیرونی زمین، شکل ثابت کنونی خود را یافت. خلیج فارس در آغاز، بسیار پهناور بوده به طوری که تا اواخر دوره سوم زمین شناسی بیشتر جلگه‌های برازجان، بهبهان و خوزستان ایران تا کوه‌های زاگرس در زیر آب بوده‌اند.

اقلیم شناسی خلیج فارس

آب و هوای خلیج فارس خشک و نیمه استوایی است. در تابستان دما گاهی تا ۵۰ درجه سانتی گراد می‌رسد و میزان تبخیر بیشتر از میزان آب‌های وارده می‌شود. در زمستان دما تا ۳ درجه سانتی گراد هم گزارش شده‌است. در عین شوری زیاد آب خلیج فارس، ۲۰۰ چشمه آب شیرین در کف و ۲۵ چشمه آب کاملا شیرین در سواحل آن جریان دارند که منشا همگی آن‌ها از کوه‌های زاگرس در ایران است. آب‌های شیرینی که وارد خلیج فارس می‌شوند عمدتا محدود به روان آب‌های کوه‌های زاگرس در ایران و کوه‌های ترکیه و عراق است.

رودخانه‌های اروند، کارون، جراحی، مند، دالکی و میناب بزرگترین و پرآب ترین رودخانه‌هایی هستند که به خلیج فارس می‌ریزند که بیشتر سرچشمه‌های آن‌ها در کوه‌های زاگرس قرار دارند. در کرانه جنوبی آب‌های ورودی به خلیج فارس بسیار کم است که موجب بالا بودن رسوبات کربناتی در این بخش شده‌است. به دلیل محصور بودن، اثر اقیانوس بر خلیج فارس بسیار ناچیز است و به همین علت سرعت جریان‌های زیرین و افقی آن بسیار کم و در حدود ۱۰ سانتی متر در ثانیه‌است. شوری بیشتر خلیج فارس نسبت به اقیانوس موجب پیدایش جریان آبی از اقیانوس هند به خلیج فارس می‌شود که به موازات ساحل ایران و در جهت پادساعتگرد است.

دلیل‌های طرفداران نام خلیج فارس

الف: دلایل تاریخی. در این خصوص در سالهای اخیر به اندازه کافی اسناد و کتاب منتشر شده است.

و نام خلیج فارس در کتب ومنابع تاریخی - جغرافیایی عربی و دوران اسلامی مورد بررسی قرار گرفته است.

ب: دلایل حقوقی.

اسناد سازمانهای بین المللی

نقشه های رسمی و نیمه رسمی

قراردادهای رسمی

کنوانسیونها

در خصوص کاربرد مستمر در سازمانهای بین المللی و اسناد بین المللی و دستورالعمل های سازمان ملل و سازمانهای بین المللی دیگر به مبحث مربوطه مراجعه شود.

ج: اعتراف روشنفکران و حقوقدانان و جغرافی دانان عربی و غربی به حقانیت تاریخی جغرافیایی و حقوقی نام خلیج فارس

د: دلایل جغرافیایی-ژئوپلتیکی- ژئواستراتژیک ایران و تنگه هرمز و خلیج فارس- جمعیت موثر- مرزها - اثر گذاری تاریخی لازم است در مبحث جداگانه بررسی شود.

ولی درخصوص استدلال قوم گرایان عرب در مورد اکثریت جمعیت عرب ، تعداد کشورها و مرزها در خلیج فارس اشاره به نظر استادفهمی هویدی نویسنده مشهور عرب کفایت می کند او به طعنه با اشاره به کثرت ساکنان غیر عرب، کشورهای عربی خلیج فارس، در روزنامه شرق الاوسط و در مصاحبه با الجزیره اعلام کرده است. در چند سال آینده عرب ها در میان انبوه جمعیت غیر بومی گم خواهند شد.هندی های مقیم قطر- امارات - کویت- بحرین و عمان از از بومیان عرب بیشتر است! بومیان قطر تنها ۱۵ درصد ساکنان آن را تشکیل می دهد. چگونه چنین هویتهایی می توانند به عنوان کشور ملت و هویت ملی قومی تعبیر شوند. خلیج فارس در دوره هایی از تاریخ و حتی در دوره فتحعلی شاه (طبق قرارداد مجمل ۱۸۰۹و مفصل۱۸۱۲) یک دریای ایرانی بوده و انگلیسی ها برای استقرار در هر منطقه از سواحل از ایران رخصت(مجوز)می گرفتند. هم اکنون نیز ایران ۱۸۰۰ کیلومتر از ۳۳۰۰ کیلومتر سواحل خلیج فارس را در اختیار دارد.